Kapitel 14 – Textgleichungen

Sie können die Lösung einer Textgleichung angeben. Dazu lernen Sie die Schritte kennen, damit das immer gelingt.

1. Formeln: Gleichungen im Alltag

Wir müssen nicht immer alle Zahlenwerte kennen. Oft ist es einfacher, eine Gleichung zu kennen.

Beispiel

Geschwindigkeit

Wörter 1

https://www.phyx.at/wp-content/uploads/2017/06/m114w1-a.mp3

die Geschwindigkeit, die Frage, schnell, kommen, vorankommen, typisch, der Wert, die Zahl, die Einheit, sprechen, der Kilometer (km), die Stunde (h), der Weg, die Zeit, die Formel, bestehen, berühmt, das Objekt, schön, schreiben, aufschreiben, das Verständnis, bedeuten, möchten, die Bedeutung, legen, zurücklegen, brauchen, achten, die Zukunft

Die Geschwindigkeit ist die Antwort auf die Frage: „Wie schnell komme ich voran?“

Ein typischer Wert für eine Geschwindigkeit ist 50 km/h. Dieser Wert besteht aus Zahl und Einheit. Die Zahl ist 50. Die Einheit ist km/h. Gesprochen: Kilometer pro Stunde, Kilometer durch Stunde. Kilometer ist der Weg. Stunde ist die Zeit.

Geschwindigkeit ist Weg durch Zeit.

Das ist eine Gleichung. Sie ist berühmt. Berühmte Gleichungen nennen wir auch Formeln.

Eine Formel besteht immer aus drei Teilen:

• (1) Formel
• (2) Bedeutung der Variablen
• (3) Verständnis

(1) Formel

(2) Bedeutung der Variablen

(3) Verständnis

Je mehr Weg ich in einer bestimmten Zeit zurücklege, desto größer ist meine Geschwindigkeit. Je weniger Zeit ich für eine bestimmte Strecke brauche, desto größer ist die Geschwindigkeit.

Tipp: Alles, was in einer Formel über dem Bruchstrich steht (Weg), macht das Ergebnis (Geschwindigkeit) größer. Alles, was unter dem Bruchstrich steht (Zeit), macht das Ergebnis kleiner.

Wir achten in Zukunft immer auf diese drei Punkte:

• (1) Formel
• (2) Bedeutung der Variablen
• (3) Verständnis

Aufgabe: Berechnen Sie die Geschwindigkeit für einen Zug, der in 3 Stunden 210 km fährt.

Lösung anzeigen

$$v=\frac{210}{3}=70\ \frac{\text{km}}{\text{h}}$$

Aufgabe: Berechnen Sie die Geschwindigkeit für einen Menschen, der in 4 Stunden 16 km geht.

Lösung anzeigen

$$v=\frac{16}{4}=4\ \frac{\text{km}}{\text{h}}$$

Aufgabe: Berechnen Sie die Geschwindigkeit einer Fahrradfahrerin, die in 2 Stunden 30 km fährt.

Lösung anzeigen

$$v=\frac{30}{2}=15\ \frac{\text{km}}{\text{h}}$$

Formeln funktionieren in mehrere Richtungen

So können wir die Geschwindigkeit berechnen. Was ist, wenn wir die Geschwindigkeit kennen, die Zeit kennen, den Weg aber nicht? Kein Problem: Wir stellen die Formel um.

Aus

wird (wenn wir beide Seiten mit t multiplizieren):

Und anders herum aufgeschrieben:

Aufgabe: Ein Zug fährt mit 225 km/h zwei Stunden lang. Welchen Weg legt er zurück?

Lösung anzeigen

$$s=225\cdot 2=450\ \text{km}$$

Aufgabe: Ein Mensch geht mit 4 km/h sechs Stunden lang. Welchen Weg legt er zurück?

Lösung anzeigen

$$s=4\cdot 6=24\ \text{km}$$

Aufgabe: Ein Autofahrer fährt mit 70 km/h vier Stunden lang. Welchen Weg legt er zurück?

Lösung anzeigen

$$s=70\cdot 4=280\ \text{km}$$

Noch eine Form

Was ist, wenn wir die Geschwindigkeit kennen, den Weg kennen, die Zeit aber nicht? Wir stellen die Formel noch einmal um.

Aus

wird (wenn wir beide Seiten mit t multiplizieren):

Und wenn wir beide Seiten durch v dividieren:

Aufgabe: Wie lange braucht eine Läuferin, die eine Strecke von 20 km mit 10 km/h läuft?

Lösung anzeigen

$$t=\frac{20}{10}=2\ \text{h}$$

Aufgabe: Wie lange braucht ein Auto, das mit 50 km/h eine Strecke von 200 km zurücklegt?

Lösung anzeigen

$$t=\frac{200}{50}=4\ \text{h}$$

Aufgabe: Wie lange braucht ein Vogel, der mit 20 km/h eine Strecke von 100 km zurücklegt?

Lösung anzeigen

$$t=\frac{100}{20}=5\ \text{h}$$

Zusammenfassung

Wörter 2

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die Formel, wichtig, berühmt, verbinden, die Verbindung, die Variable, die Gleichung, finden, das Buch, das Verzeichnis, bestimmt, die Version, sehen, lernen, kennenlernen, vorhanden sein, auswendig, nie, stellen, umstellen, eher, formen, umformen, äquivalent, gleichwertig, die Geschwindigkeit, die Geschwindigkeitsformel

Eine Formel ist eine (wichtige/berühmte) Verbindung von Variablen in einer Gleichung. Viele Formeln finden wir in Büchern oder Verzeichnissen. Obwohl wir sie in einer bestimmten Version sehen oder lernen, sind sie auch in allen anderen Versionen vorhanden. Wir lernen diese weiteren Versionen nicht auswendig. Wir stellen sie selbst zur gewünschten Version um. In Österreich sagen wir dazu oft „umformen“. Wir sagen: Die verschiedenen Versionen sind äquivalent, also gleichwertig.

Das ist Punkt (4), den wir bei Formeln beachten wollen:

• (4) Äquivalente Formen

Folgende Versionen der bekannten Geschwindigkeitsformel sind äquivalent:

Für jede Variable gibt es eine äquivalente Form. Wenn eine Formel drei Variablen hat, brauchen wir Zahlen für zwei Variablen, um die dritte zu berechnen. Wir wählen dazu die passende äquivalente Form.

Übungen

Wörter 3

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schreiben, aufschreiben, folgen, die Situation, der Umstand, der Sachverhalt, der Punkt, die Variable, der Buchstabe, frei, wählen, dürfen

Schreiben Sie bitte für die folgenden Situationen die vier Punkte auf. Die Variablen dürfen Sie frei wählen.

• (1) Formel
• (2) Bedeutung der Variablen
• (3) Verständnis
• (4) Äquivalente Formen

Stundenlohn

Wörter 4

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Der Stundenlohn ist das verdiente Geld geteilt durch die Anzahl der Stunden.

Lösung anzeigen

(1) Formel

$$s=\frac{g}{t}$$

(2) Bedeutung der Variablen

$$s\ \text{… Stundenlohn}$$

$$g\ \text{… Geld}$$

$$t\ \text{… Zeit (Stunden)}$$

(3) Verständnis

Je mehr Geld in einer bestimmten Zeit verdient wird, desto höher ist der Stundenlohn. Je mehr Zeit für eine bestimmte Geldmenge gearbeitet wird, desto geringer ist der Stundenlohn.

(4) Äquivalente Formen

$$s=\frac{g}{t}$$

$$g=s\cdot t$$

$$t=\frac{g}{s}$$

Dichte

Wörter 5

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Die Dichte eines Materials ist seine Masse geteilt durch sein Volumen.

Lösung anzeigen

$$\rho=\frac{M}{V}$$

$$M=\rho\cdot V$$

$$V=\frac{M}{\rho}$$

Durchfluss

Wörter 6

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Der Durchfluss durch ein Rohr ist die Menge (zum Beispiel Liter) geteilt durch die Zeit.

Lösung anzeigen

(1) Formel

$$d=\frac{l}{t}$$

(2) Bedeutung der Variablen

$$d\ \text{… Durchfluss}$$

$$l\ \text{… Liter (Menge)}$$

$$t\ \text{… Zeit}$$

(3) Verständnis

Je mehr Weg ich in einer bestimmten Zeit zurücklege, desto größer ist meine Geschwindigkeit. Je weniger Zeit ich für eine bestimmte Strecke brauche, desto größer ist die Geschwindigkeit.

Tipp: Alles, was in einer Formel über dem Bruchstrich steht (Weg), macht das Ergebnis (Geschwindigkeit) größer. Alles, was unter dem Bruchstrich steht (Zeit), macht das Ergebnis kleiner.

Wir achten in Zukunft immer auf diese drei Punkte:

• (1) Formel
• (2) Bedeutung der Variablen
• (3) Verständnis

Aufgabe: Berechnen Sie die Geschwindigkeit für einen Zug, der in 3 Stunden 210 km fährt.

Lösung anzeigen

$$v=\frac{210}{3}=70\ \frac{\text{km}}{\text{h}}$$

Aufgabe: Berechnen Sie die Geschwindigkeit für einen Menschen, der in 4 Stunden 16 km geht.

Lösung anzeigen

$$v=\frac{16}{4}=4\ \frac{\text{km}}{\text{h}}$$

Aufgabe: Berechnen Sie die Geschwindigkeit einer Fahrradfahrerin, die in 2 Stunden 30 km fährt.

Lösung anzeigen

$$v=\frac{30}{2}=15\ \frac{\text{km}}{\text{h}}$$