Kapitel 12 – Algebra: Rechnen mit Buchstaben

Wir können alles Mögliche zusammenzählen. Warum nicht auch Buchstaben? Vom Rechnen mit Buchstaben erzählt dieses Kapitel.

Wörter 1

https://www.phyx.at/wp-content/uploads/2017/06/m112w1-a.mp3

zählen, zusammenzählen, drücken, ausdrücken, der Ausdruck, der Buchstabe, die Variable, der Term, sortieren, alphabetisch, das Alphabet, fassen, zusammenfassen, getrennt, gemeinsam, vermischen, gerne, zuerst, die Strecke, fliegen

1. Addieren

Wenn gleiche Buchstaben (Variablen) mehrmals vorkommen, können wir sie zusammenfassen.

Einen mathematischen Ausdruck mit Buchstaben nennen wir einen Term. Die Buchstaben heißen Variablen.

Übungen

Lösung

$$7a$$

Lösung

$$10a+6b$$

Lösung

$$15r+8s+5t+11$$

Wir sortieren die Variablen gerne alphabetisch. Die Zahl schreiben wir gerne zuerst oder zuletzt – wichtig ist: konsequent bleiben.

Lösung

$$x$$

Wir lassen das Pluszeichen und die 1 im Produkt gerne weg: +1x = x.

Lösung

$$-5h+9i+5j+6$$

2. Subtrahieren

Beim Subtrahieren gilt dasselbe: Wir fassen gleiche Variablen zusammen. Zahlen fassen wir getrennt von Buchstaben zusammen.

Eine Flugstrecke ist x km lang. y km sind Sie schon geflogen. Wie viele km werden Sie noch fliegen?

Lösung

$$x-y$$

3. Multiplizieren und herausheben

Hier passiert etwas Wichtiges: Wir können aus einer Summe ein Produkt machen (herausheben) – und umgekehrt (ausmultiplizieren).

Hinweis zur Sprache

„Café“ bedeutet im Französischen „Kaffee“. Im Deutschen nennen wir das Getränk „Kaffee“.

Herausheben

Ein gemeinsamer Faktor wird nur einmal geschrieben:

Ausmultiplizieren

Jedes Element in der Klammer wird multipliziert:

Wir nennen c und p Variablen. Wenn c der Preis für Kaffee ist und p der Preis für Perrier, dann beschreibt der Term den Geldbetrag.

Wörter 2

https://www.phyx.at/wp-content/uploads/2017/06/m112w2-a.mp3

das Bild, tun, zu tun haben, der Preis, Perrier (Mineralwasser), obig, der Betrag, das Geld, der Geldbetrag, bezahlen, der Kaffee, das Kaffeehaus, variabel, unterschiedlich, gelten, praktisch, der Wert, setzen, einsetzen, die Möglichkeit, die Person, heben, heraus, herausheben, umkehren, die Umkehrung, die Abrechnung, teilen, aufteilen, der Bruchstrich, der Alltag, die Kunst, die Algebra, beschreiben, kürzen, schaffen, der Schluss, einfach, vereinfachen, verboten, die Brille, tragen, wissen

Beim letzten Term sieht man sofort: Jede der zwei Personen bezahlt 4,8 Euro. Herausheben ist die Umkehrung der Multiplikation.

Übungen

Multiplizieren

Lösung

$$40a$$

Lösung

$$18f+6g$$

Lösung

$$24x-15$$

Lösung

$$-4x+2y-3z$$

Lösung

$$-14x-16y+2z$$

Herausheben

Lösung

$$4(x+y)$$

Lösung

$$6(3f+g)$$

Lösung

$$-3(8x+5)$$

Erweiterung: Bitte heben Sie −1 heraus.

Lösung

$$-(4x-2y+3z)$$

Lösung

$$-2(7x+8y-z)$$

4. Dividieren

Dividieren schreiben wir beim Rechnen mit Buchstaben als Bruch:

x könnte die Rechnung im Restaurant sein. Sie wird auf fünf Personen aufgeteilt. Der Term beschreibt, wie viel jede Person bezahlt.

Beispiel 1

Wir rechnen mit Buchstaben auch ohne Bezug zum Alltag. Diese Kunst heißt Algebra.

Beispiel 2

Beispiel 3

Das kann man nicht weiter kürzen. Kürzen ist bei + und − direkt verboten.

Erweiterung: Beispiel 4

Durch Herausheben entsteht ein Produkt. Dann ist Kürzen erlaubt.

Übungen

Wenn x die Anzahl an Menschen ist und jeder 4. Mensch eine Brille trägt: Welcher Term beschreibt die Anzahl der Brillenträger?

Lösung

$$\frac{x}{4}$$

Wenn x=200 ist: Wie viele Menschen tragen dann eine Brille?

Lösung

$$\frac{200}{4}=50$$

Antwort: 50 Menschen tragen eine Brille.

Weitere Übungen:

Lösung

$$\frac{8x}{16}=\frac{x}{2}$$

Lösung

$$\frac{5x+4y-5}{2x+y+1}$$

Erweiterung: Bitte heben Sie oben und unten zuerst 2 heraus.

Lösung

$$\frac{2a+3b}{5a+4b}$$

5. Vorrangregeln

Es gelten die üblichen Vorrangregeln. Klammern können die Reihenfolge ändern. Innerhalb von Klammern vereinfachen wir zuerst.

Übung

Lösung

$$2x+5\cdot(7x+1)=2x+35x+5=37x+5$$

6. Bis zum nächsten Mal

Wörter 3

https://www.phyx.at/wp-content/uploads/2017/06/m112w3-a.mp3

die Gelegenheit, finden, überall, das Ding, zählen, die Zahl, multiplizieren, die Frage, stellen, die Antwort, wissen, neugierig, bleiben

Gelegenheiten zum Rechnen finden wir überall. Ob wir nur die Dinge zählen. Ob wir die Zahlen multiplizieren. Ob wir Fragen stellen, deren Antwort wir noch nicht wissen. Bleiben wir neugierig!