Wörter 1
zählen, zusammenzählen, drücken, ausdrücken, der Ausdruck, der Buchstabe, die Variable, der Term, sortieren, alphabetisch, das Alphabet, fassen, zusammenfassen, getrennt, gemeinsam, vermischen, gerne, zuerst, die Strecke, fliegen
1. Addieren
♥ + ♥ + ♥ + ♥ = $latex 4\cdot$ ♥ = $latex 4$ ♥
♣ + ♣ + ♣ = $latex 3\cdot$ ♣ = $latex 3$ ♣
♥ + ♥ + ♣ + ♥ + ♥ + ♣ + ♣ = $latex 4\cdot$ ♥ + $latex 3\cdot$ ♣ = $latex 4$ ♥ + $latex 3$ ♣
$latex x+x+x+x=4\cdot x=4x$
$latex y+y+y=3\cdot y=3y$
$latex x+x+y+x+x+y+y=4\cdot x+3\cdot y=4x+3y$
Übungen
$latex 2a+5a=$
Lösung
$latex 7a+3a+6b=$
Lösung
$latex 6r+7s+3t+5+2+9r+s+2t+4=$
Lösung
Wir sortieren die Variablen gerne alphabetisch. Die Zahl schreiben wir gerne zuerst.
$latex -4x+5x=$
Lösung
Wir lassen + (Vorzeichen) und 1 (im Produkt) gerne weg.
$latex -7h+2j-i+10i+3j+2h+6=$
Lösung
2. Subtrahieren
$latex 7x-2x=5x$
$latex 7x+3y-2x=5x+3y$
$latex 7x-9x=-2x$
$latex 2x+y+6z+3x-8-5y-z+10=5x-4y+5z+2$
Übungen
$latex 2a+5a=$
Lösung
$latex 7a+3a+6b=$
Lösung
$latex 6r+7s+3t+5+2+9r+s+2t+4=$
Lösung
Wir sortieren die Variablen gerne alphabetisch. Die Zahl schreiben wir gerne zuerst.
$latex -4x+5x=$
Lösung
Wir lassen + (Vorzeichen) und 1 (im Produkt) gerne weg.
$latex -7h+2j-i+10i+3j+2h+6=$
Lösung
Eine Flugstrecke ist x km lang. y km sind Sie schon geflogen. Wie viele km werden Sie noch fliegen?
Lösung
3. Multiplizieren und herausheben
$latex c+c+p+p=2c+2p=2(c+p)$
Was hat diese Rechnung mit dem Bild zu tun?
café + café + perrier + perrier = 2 café + 2 perrier = 2 (café + perrier)
Hinweis zur Sprache
Herausheben
Ein gemeinsamer Faktor wird nur einmal geschrieben. Es entsteht ein Produkt.
2 café + 2 perrier = 2 (café + perrier)
$latex 2c+2p=2(c+p)$
Multiplizieren
Die Multiplikation wird ausgeführt. Jedes Element wird multipliziert.
2 (café + perrier) = 2 café + 2 perrier
$latex 2(c+p)=2c+2p$
Wozu?
$latex c+c+p+p=2c+2p=2(c+p)$
Wir sagen zu c und p “Variablen”. Wenn c der Preis für den Kaffee ist und p der Preis für Perrier, dann wird die obige Rechnung den Geldbetrag ausmachen, der zu bezahlen ist. Die Preise sind je nach Kaffeehaus variabel (unterschiedlich). Die Rechnung gilt für alle Kaffeehäuser. Das ist praktisch.
Wörter 2
das Bild, tun, zu tun haben, der Preis, Perrier (Mineralwasser), obig, der Betrag, das Geld, der Geldbetrag, bezahlen, der Kaffee, das Kaffeehaus, variabel, unterschiedlich, gelten, praktisch, der Wert, setzen, einsetzen, die Möglichkeit, die Person, heben, heraus, herausheben, umkehren, die Umkehrung, die Abrechnung, teilen, aufteilen, der Bruchstrich, der Alltag, die Kunst, die Algebra, beschreiben, kürzen, schaffen, der Schluss, einfach, vereinfachen, verboten, die Brille, tragen, wissen
$latex c=1,6 \text{ Euro und } p=3,2 \text{ Euro} $
$latex \text {Geldbetrag}=c+c+p+p=2c+2p=2(c+p)$
Wenn wir den Variablen c und p den Wert 1,6 und 3,2 geben, “setzen wir in c und p ein”. Wir schreiben statt c und p die Werte. 3 Möglichkeiten haben wir in der obigen Rechnung.
$latex \text {1. Term: }1,6 +1,6 +3,2 +3,2 =9,6 \text{ Euro (lange Rechnung)}$
$latex \text {2. Term: }2 \cdot (1,6)+2 \cdot (3,2) = 9,6 \text{ Euro}$
$latex \text {3. Term: }2 \cdot (1,6+3,2) = 2 \cdot(4,8) \text{ Euro}$
Beim 3. Term sehen wir, dass jede der zwei Personen 4,8 Euro bezahlen muss. Wir haben den dritten Term durch Herausheben erhalten. Herausheben ist die Umkehrung der Multiplikation.
Übungen
Multiplizieren
$latex 5\cdot8a=$
Lösung
$latex 3\cdot(6f+2g)=$
Lösung
$latex -3\cdot(-8x+5)=$
Lösung
$latex -(4x-2y+3z)=$
Lösung
$latex (7x+8y-z)\cdot(-2)=$
Lösung
Herausheben
$latex 4x+4y=$
Lösung
$latex 18f+6g=$
Lösung
$latex -24x-15=$
Lösung
$latex -4x+2y-3z \text { bitte -1 herausheben}$
Lösung
$latex -14x-16y+2z=$
Lösung
4. Dividieren
Dividieren wird beim Rechnen mit Buchstaben als Term mit Bruchstrich geschrieben.
$latex \dfrac{x}{5}$
x könnte die Rechnung im Restaurant sein. Sie wird auf fünf Personen aufgeteilt. Der Term beschreibt, wie viel jede der fünf Personen bezahlt.
Beispiel 1
$latex x=70 \text { Euro}$
$latex \text {… das ergibt pro Person } \dfrac {70}{5}=14 \text { Euro.}$
Beispiel 2
$latex \dfrac {3x+4x}{9+5}=\dfrac {7x}{14}=\dfrac {x}{2}$
Zuerst oben und unten vereinfachen. Das bedeutet: addieren, subtrahieren (zusammenfassen), ausmultiplizieren, kürzen. Wir kürzen am Schluss durch 7.
Beispiel 3
$latex \dfrac {3x+4x+1}{9+5}=\dfrac {7x+1}{14}$
Das Ergebnis kann nicht weiter vereinfacht werden. Kürzen ist bei + und – verboten.
Erweiterung: Beispiel 4
$latex \dfrac {3x+4x+21}{9+5}=\dfrac {7x+21}{14}=\dfrac {7 \cdot (x+3)}{14}=\dfrac{x+3}{2}$
Durch Herausheben haben wir ein “Mal” geschaffen. Dann ist Kürzen erlaubt.
Übungen
Wenn x die Anzahl an Menschen ist und jeder 4. Mensch eine Brille trägt: Welcher Term beschreibt die Anzahl der Menschen, die eine Brille tragen?
Lösung
Wenn wir nun wissen, dass x=200 ist, wie viele Menschen tragen dann eine Brille?
Lösung
Antwort: 50 Menschen tragen eine Brille.
Weitere Übungen:
$latex \dfrac{3x+5x}{2+14}=$
Lösung
$latex \dfrac{3x+4y-5+2x}{x+x+y+1}=$
Lösung
$latex \text {Erweiterung: Heben Sie bitte oben und unten zuerst 2 heraus}\dfrac{4a+6b}{10a+8b}$
Lösung
5. Vorrangregeln
Es gelten die üblichen Vorrangregeln, die durch Klammern geändert werden können. Innerhalb der Klammern möchten wir zuerst vereinfachen.
$latex 5x+3 \cdot (2x + 4 + 6x)=5x+3 \cdot (8x+4)=5x+24x+12=29x+12$
Übung
$latex 2x+5 \cdot (3x + 1 + 4x)=$
Lösung
6. Bis zum nächsten Mal
Wörter 3
die Gelegenheit, finden, überall, das Ding, zählen, die Zahl, multiplizieren, die Frage, stellen, die Antwort, wissen, neugierig, bleiben
Gelegenheiten zum Rechnen finden wir überall. Ob wir nur die Dinge zählen. Ob wir die Zahlen multiplizieren. Ob wir Fragen stellen, deren Antwort wir noch nicht wissen. Bleiben wir neugierig!
Korrekturen: Maria Fatoba
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