Physikalische Soiree | Wissen

Kapitel 10: Bruchrechnen

Sie können mit Bruchzahlen rechnen? Da haben Sie schon viel gelernt. Schauen wir gemeinsam.

Was sind das für Zahlen? Bruchzahlen?

In diesem Kapitel arbeiten wir mit mathematischen Symbolen. Alle Wörter haben Sie bereits kennengelernt.

Römische Zahlen (links). Sie können nicht beim Bruchrechnen verwendet werden. Mit dekadischen Zahlen (118) geht das gut. Denn sogar 118 ist eine Bruchzahl, obwohl sie wie eine „normale“ Zahl aussieht. Warum 188 auch eine Bruchzahl ist, werden wir in diesem Kapitel kennenlernen.

1. Was ist eine Bruchzahl?

Das ist eine Bruchzahl:

45\frac{4}{5}

Eine Bruchzahl besteht aus zwei Zahlen, die ein Bruchstrich trennt. Die untere Zahl heißt Nenner. Die obere Zahl heißt Zähler.

ZaehlerNenner\frac{Zaehler}{Nenner}

Wenn Sie Zähler durch Nenner dividieren, dann erhalten Sie eine Dezimalzahl.

34=3:4=0,75\frac{3}{4}=3:4=0,75

Wenn ein Minus vorhanden ist, dann dürfen Sie das an drei verschiedene Positionen schreiben.

−34=−34=3−4\frac{-3}{4}=-\frac{3}{4}=\frac{3}{-4}

Plus als Vorzeichen lassen wir meistens weg.

+34=34+\frac{3}{4}=\frac{3}{4}

Wir lernen nun einige Regeln kennen, wie wir mit Bruchzahlen rechnen werden. Diese Regeln werden mit dem Alltag nichts zu tun haben. Sie können aber gerne Verbindungen zum Alltag knüpfen.

2. Addieren von Brüchen

+34+34=64+\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=\frac{6}{4}
−34+54=24-\frac{3}{4}+\frac{5}{4}=\frac{2}{4}

Wir addieren nur Brüche mit gleichem Nenner. Dieser Nenner bleibt unverändert.

3. Subtrahieren von Brüchen

+34−24=14+\frac{3}{4}-\frac{2}{4}=\frac{1}{4}
−34−54=−84-\frac{3}{4}-\frac{5}{4}=-\frac{8}{4}

Wir subtrahieren nur Brüche mit gleichem Nenner. Dieser Nenner bleibt unverändert.

4. Multiplizieren von Brüchen

+34⋅73=2112+\frac{3}{4}\cdot\frac{7}{3}=\frac{21}{12}
−54⋅32=−158-\frac{5}{4}\cdot\frac{3}{2}=-\frac{15}{8}

Wir können alle Brüche multiplizieren. Auch mit verschiedenen Nennern. Diese Nenner verändern sich.

5. Dividieren von Brüchen

+34:52=34⋅25=68+\frac{3}{4}:\frac{5}{2}=\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{5}=\frac{6}{8}
−52:34=−52⋅43=−206-\frac{5}{2}:\frac{3}{4}=-\frac{5}{2}\cdot\frac{4}{3}=-\frac{20}{6}

Wir können fast alle Brüche dividieren. Einzig durch null dürfen wir nicht dividieren. Die Division von Brüchen wird zur Multiplikation mit dem Kehrwert. Wir drehen dazu den zweiten Bruch um.

6. Taschenrechner

Viele Taschenrechner können auch mit Brüchen rechnen. Das können Sie gerne tun. In diesem Kurs verwenden wir keinen Taschenrechner, damit Sie die Grundlagen lernen können.

7. Was tun, wenn …

… die Brüche keinen gleichen Nenner haben?

34+15=\frac{3}{4}+\frac{1}{5}=

Die Nenner sind verschieden. Wir dürfen die Brüche nicht addieren. Wir werden die beiden Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Dann dürfen wir sie addieren.

4⋅5=5⋅4=204\cdot5=5\cdot4=20

Das Produkt der beiden Nenner ist immer ein gemeinsamer Nenner.

Wir werden nun die Brüche „erweitern“.

34+15=3⋅54⋅5+1⋅45⋅4=1520+420=\frac{3}{4}+\frac{1}{5}=\frac{3\cdot5}{4\cdot5}+\frac{1\cdot4}{5\cdot4}=\frac{15}{20}+\frac{4}{20}=

Jetzt können wir addieren.

15+420=1920\frac{15+4}{20}=\frac{19}{20}

Das Produkt der beiden Nenner ist immer ein gemeinsamer Nenner. Oft gibt es noch kleinere gemeinsame Nenner.

… eine der Zahlen gar kein Bruch ist?

7⋅34=7\cdot\frac{3}{4}=

Wir dürfen Zahlen und Bruchzahlen nicht vermischen. Wir werden die Zahl 7 zu einer Bruchzahl machen. Dann werden wir die Rechnung ausführen.

71⋅34=214\frac{7}{1}\cdot\frac{3}{4}=\frac{21}{4}

Jede Zahl ist auch eine Bruchzahl mit dem Nenner 1 („Eintel“).

… wir eine „gemischte Zahl“ vorfinden?

312=3\frac{1}{2}=

Wir lesen diese „gemischte Zahl“ richtig: „3 Ganze und ein Halbes“. Das bedeutet eine Addition von 3 und 1/2. Dazu müssten wir 3 zum Bruch machen und dann beide Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Es ist gut zu wissen, was eine gemischte Zahl ist und wie man sie zu einem Bruch umwandelt. Bitte lassen Sie Ihre Ergebnisse beim Bruchrechnen besser als Bruchzahl stehen, außer es gibt einen guten Grund, wieder eine gemischte Zahl daraus zu machen.

312=3+12=31+12=3⋅21⋅2+1⋅12⋅1=62+12=6+12=723\frac{1}{2}=3+\frac{1}{2}=\frac{3}{1}+\frac{1}{2}=\frac{3\cdot2}{1\cdot2}+\frac{1\cdot1}{2\cdot1}=\frac{6}{2}+\frac{1}{2}=\frac{6+1}{2}=\frac{7}{2}

… wir einen Bruch vereinfachen möchten?

20400\frac{20}{400}

Wenn wir eine Zahl finden, die Zähler und Nenner ohne Rest teilt, dann können wir Zähler und Nenner durch diese Zahl dividieren. Es entsteht ein neuer Bruch mit gleichem Wert. Dieser Vorgang heißt „kürzen“. Das dürfen wir auch mehrfach tun.

20400=240=120\frac{20}{400}=\frac{2}{40}=\frac{1}{20}

Wir haben zuerst durch 10 gekürzt, und dann durch 2 gekürzt. Wir hätten auch gleich durch 10 mal 2 = 20 kürzen können.

… wir einen Doppelbruch vorfinden?

3452\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{2}}

Lösen Sie einen Doppelbruch so auf: Außenglied mal Außenglied durch Innenglied mal Innenglied.

3452=3⋅24⋅5=620=310\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{2}}=\frac{3\cdot2}{4\cdot5}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}

Wir haben im letzten Schritt durch 2 gekürzt. So etwas möchten wir in Zukunft immer tun. Wir kontrollieren das Ergebnis, ob wir es durch Kürzen vereinfachen können.

8. Übungen

8.1 Wandeln Sie bitte die Bruchzahlen in Dezimalzahlen um

25\frac{2}{5}
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Zähler durch Nenner dividieren, das ergibt 0,4.

−104\frac{-10}{4}
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0,4 ist hier falsch; richtig ist: −2,5.

13\frac{1}{3}
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0,33 (gerundet).

−14-\frac{1}{4}
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−0,25.

Umgekehrt geht es auch. Wenn wir eine Dezimalzahl als Bruchzahl brauchen, dann schreiben wir zwei Kommastellen als Hundertstel: 0,56 = 56/100 oder 1,56 = 156/100; drei Kommastellen als Tausendstel: 0,563 = 563/1000 oder 2,125 = 2125/1000.

8.2 Addieren Sie bitte

25+15\frac{2}{5}+\frac{1}{5}
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Die Nenner sind gleich, Sie können die Zähler addieren.

35\frac{3}{5}
−25+45-\frac{2}{5}+\frac{4}{5}
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+25+\frac{2}{5}

Oder ohne Pluszeichen:

25\frac{2}{5}
35+12\frac{3}{5}+\frac{1}{2}
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Die Nenner sind nicht gleich, Sie müssen zuerst die Brüche erweitern. Der gemeinsame Nenner ist 5·2 = 10.

3⋅25⋅2+1⋅52⋅5=610+510=6+510=1110\frac{3\cdot2}{5\cdot2}+\frac{1\cdot5}{2\cdot5}=\frac{6}{10}+\frac{5}{10}=\frac{6+5}{10}=\frac{11}{10}
6+126+\frac{1}{2}
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Die erste Zahl ist keine Bruchzahl, Sie müssen sie zuerst zu einer machen. Im nächsten Schritt erweitern Sie die Brüche. Der gemeinsame Nenner ist 1·2 = 2.

61+12=6⋅21⋅2+1⋅12⋅1=122+12=12+12=132\frac{6}{1}+\frac{1}{2}=\frac{6\cdot2}{1\cdot2}+\frac{1\cdot1}{2\cdot1}=\frac{12}{2}+\frac{1}{2}=\frac{12+1}{2}=\frac{13}{2}

8.3 Subtrahieren Sie bitte

25−15\frac{2}{5}-\frac{1}{5}
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Die Nenner sind gleich, Sie können die Zähler subtrahieren.

15\frac{1}{5}
25−45\frac{2}{5}-\frac{4}{5}
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−25-\frac{2}{5}
−35−12-\frac{3}{5}-\frac{1}{2}
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Die Nenner sind nicht gleich, Sie müssen zuerst die Brüche erweitern. Der gemeinsame Nenner ist 5·2 = 10.

−3⋅25⋅2−1⋅52⋅5=−610−510=−1110-\frac{3\cdot2}{5\cdot2}-\frac{1\cdot5}{2\cdot5}=-\frac{6}{10}-\frac{5}{10}=-\frac{11}{10}
92−4\frac{9}{2}-4
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Die zweite Zahl ist keine Bruchzahl, Sie müssen sie zuerst zu einer machen. Der gemeinsame Nenner ist 2.

92−41=92−82=12\frac{9}{2}-\frac{4}{1}=\frac{9\cdot1}{2\cdot1}-\frac{4\cdot2}{1\cdot2}=\frac{9}{2}-\frac{8}{2}=\frac{1}{2}

8.4 Multiplizieren Sie bitte

73⋅25\frac{7}{3}\cdot\frac{2}{5}
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7⋅23⋅5=1415\frac{7\cdot2}{3\cdot5}=\frac{14}{15}
−43⋅28-\frac{4}{3}\cdot\frac{2}{8}
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Kürzen ist möglich (vor dem Multiplizieren oder danach).

−4⋅23⋅8=−824=−13-\frac{4\cdot2}{3\cdot8}=-\frac{8}{24}=-\frac{1}{3}

Hinweis

Bei Multiplikationen können Sie gleich zu Beginn kürzen, wenn dies möglich ist. Das dürfen wir nur bei „mal“ und nicht bei „plus“.

−43⋅28=−13⋅12=−16-\frac{4}{3}\cdot\frac{2}{8}=-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=-\frac{1}{6}

8.5 Multiplizieren Sie bitte

52⋅(−710)\frac{5}{2}\cdot\left(-\frac{7}{10}\right)
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−5⋅72⋅10=−3520=−74-\frac{5\cdot7}{2\cdot10}=-\frac{35}{20}=-\frac{7}{4}

Hinweis

– und + sollen nur mit Klammer an eine Malrechnung geschrieben werden.

52⋅(−710) ist besser als 52⋅−710; in jedem Fall wird das zu −5⋅72⋅10\frac{5}{2}\cdot\left(-\frac{7}{10}\right)\text{ ist besser als }\frac{5}{2}\cdot-\frac{7}{10}\text{; in jedem Fall wird das zu }-\frac{5\cdot7}{2\cdot10}

8.6 Multiplizieren Sie bitte

−65⋅(−512)-\frac{6}{5}\cdot\left(-\frac{5}{12}\right)
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+6⋅55⋅12=3060=12+\frac{6\cdot5}{5\cdot12}=\frac{30}{60}=\frac{1}{2}

8.7 Dividieren Sie bitte

73:25\frac{7}{3}:\frac{2}{5}
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7⋅53⋅2=356\frac{7\cdot5}{3\cdot2}=\frac{35}{6}
−43:28-\frac{4}{3}:\frac{2}{8}
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Division durch einen Bruch bedeutet: mal den Kehrwert.

−43:28=−43⋅82=−326=−163-\frac{4}{3}:\frac{2}{8}=-\frac{4}{3}\cdot\frac{8}{2}=-\frac{32}{6}=-\frac{16}{3}
52:(−710)\frac{5}{2}:\left(-\frac{7}{10}\right)
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52:(−710)=52⋅(−107)=−5014=−257\frac{5}{2}:\left(-\frac{7}{10}\right)=\frac{5}{2}\cdot\left(-\frac{10}{7}\right)=-\frac{50}{14}=-\frac{25}{7}

Hinweis

– und + sollen nur mit Klammer an eine Division geschrieben werden.

52:(−710) ist besser als 52:−710; in jedem Fall wird das zu −5⋅102⋅7\frac{5}{2}:\left(-\frac{7}{10}\right)\text{ ist besser als }\frac{5}{2}:-\frac{7}{10}\text{; in jedem Fall wird das zu }-\frac{5\cdot10}{2\cdot7}

8.8 Dividieren Sie bitte

−65:(−512)-\frac{6}{5}:\left(-\frac{5}{12}\right)
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−65:(−512)=−65⋅(−125)=+7225-\frac{6}{5}:\left(-\frac{5}{12}\right)=-\frac{6}{5}\cdot(-\frac{12}{5})=+\frac{72}{25}

9. Vorrangregeln

Beim Rechnen mit Brüchen gelten die üblichen Vorrangregeln. Zuerst multiplizieren Sie und dividieren Sie. Dann addieren Sie und subtrahieren Sie. Dieser Vorrang kann durch Klammern geändert werden.

Übungen

  1. Berechnen Sie bitte:
32+53⋅14=\frac{3}{2}+\frac{5}{3}\cdot\frac{1}{4}=
Lösung anzeigen
=2312=\frac{23}{12}

2. Berechnen Sie bitte:

(32+53)⋅14=\left(\frac{3}{2}+\frac{5}{3}\right)\cdot\frac{1}{4}=
Lösung anzeigen
=1924=\frac{19}{24}

10. Sie haben Ihr Ziel erreicht

Wunderbar, dass Sie bisher gekommen sind. Sie können jetzt weitere Übungen machen, um beim Bruchrechnen noch besser zu werden. Das ist sicher sinnvoll. Die Grundlagen haben Sie gelernt. Gratulation. Schön, dass Sie bei unserem Sommerkurs dabei sind.

Link zu Übungsaufgaben: bitte hier entlang zum „Mathe-Trainer“.