Physikalische Soiree | Wissen

Grundlagen der Mathematik 2 – Übungsaufgaben

Mit diesen Aufgaben festigen Sie Ihr Wissen. Verwenden Sie auch Ihre Lernunterlagen, wenn es Probleme gibt. Die Lösungen finden Sie bei den Beispielen. Gerne können Sie ganz unten auch kommentieren, wenn Sie Fragen haben oder wenn Sie einen Fehler finden. Wenn Sie auch Mathematik 1 wiederholen möchten, dann bitte hier entlang.

Und hier sind die Aufgaben:

M201: Zahlen den Zahlenmengen zuordnen

  1. Wiederholung mit Übungsaufgaben: https://www.phyx.at/mathematik/m1/m04/
  2. Erklären Sie bitte die Zahlenmengen
    N, Z, Q, I, R \mathbb{N},\ \mathbb{Z},\ \mathbb{Q},\ \mathbb{I},\ \mathbb{R}
  3. Welcher Zahlenmenge ist die Dezimalzahl 0,45 zuzuordnen?

Lösungen

2. Aufgabe

N \mathbb{N}

Menge der natürlichen Zahlen (keine Kommastellen, positiv)

Z \mathbb{Z}

Menge der ganzen Zahlen (keine Kommastellen, positiv und negativ)

Q \mathbb{Q}

Menge der Bruchzahlen (rationale Zahlen: Brüche aus ganzen Zahlen; alle Dezimalzahlen mit endlich vielen Kommastellen sind ebenfalls rational)

I \mathbb{I}

Menge der irrationalen Zahlen (nicht als Dezimalzahl mit endlich vielen Kommastellen darstellbar)

R \mathbb{R}

Menge der reellen Zahlen (rationale und irrationale Zahlen zusammen)

3. Aufgabe

0,45 ist eine rationale Zahl, denn

0,45 = 45100 0{,}45=\frac{45}{100}

M202: Rechengesetze für Potenzen

  1. Berechnen Sie bitte
    a+a+a=a+a+a=
    a⋅a⋅a⋅a=a\cdot a\cdot a\cdot a=
    ab+3ab+2ab–ab2=ab+3ab+2ab-ab^2=
  2. Berechnen Sie bitte
    a5⋅a3⋅a9=a^5\cdot a^3\cdot a^9=
    a2a5⋅a2=\frac{a^2}{a^5}\cdot a^2=
    a–2a–5⋅a2=\frac{a^{-2}}{a^{-5}}\cdot a^2=
    a0+a1=a^0+a^1=
  3. Die Rechengesetze: Wie werden Potenzen gleicher Basen multipliziert und dividiert, wie werden Potenzen potenziert?
  4. Jetzt noch diese Übungsaufgaben Potenzrechnen zum Zusammenfassen
  5. Möchten Sie dieses Thema perfektionieren? Das könnten Sie mit diesen Aufgaben tun.

Lösungen

1. Aufgabe

3a3a
a4a^4
6ab–ab26ab-ab^2

2. Aufgabe

a17a^{17}
1a=a–1\frac{1}{a}=a^{-1}
1a–5=a5\frac{1}{a^{-5}}=a^5
1+a1+a

3. Aufgabe

Potenzen gleicher Basen werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert. Potenzen gleicher Basen werden dividiert, indem man ihre Exponenten subtrahiert. Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert.

M203: Potenzen mit rationalen Exponenten (Wurzeln)

  1. Wandeln Sie bitte die Potenz in Wurzelschreibweise um
    a12=a^{1/2}=
    a32=a^{3/2}=
    a35=a^{3/5}=
  2. Berechnen Sie bitte
    a32⋅a23⋅a–1=a^{3/2}\cdot a^{2/3}\cdot a^{-1}=
    a32a52⋅a2=\frac{a^{3/2}}{a^{5/2}}\cdot a^2=
    a–32a5⋅a–32=\frac{a^{-3/2}}{a^{5}}\cdot a^{-3/2}=
  3. Wandeln Sie bitte die Wurzel in Potenzschreibweise um
    a3=\sqrt[3]{a}=
    a52=\sqrt[2]{a^5}=
    a–23=\sqrt[3]{a^{-2}}=

Lösungen

1. Aufgabe

a\sqrt{a}
a3\sqrt{a^3}
a35\sqrt[5]{a^3}

2. Aufgabe

a76a^{\frac{7}{6}}
aa
a–8a^{-8}

3. Aufgabe

a13a^{\frac{1}{3}}
a52a^{\frac{5}{2}}
a–23a^{-\frac{2}{3}}

M204: Rechnen mit Wurzeln: Zahlen und Terme „in“ und „aus“ einer Wurzel bringen

  1. Verbinden Sie bitte die Wurzeln
    a3⋅a23=\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{a^2}=
  2. Bringen Sie bitte die Zahl in die Wurzel
    3⋅a=3\cdot\sqrt{a}=
  3. Bringen Sie bitte die Zahl aus der Wurzel
    3⋅16⋅a=3\cdot\sqrt{16\cdot a}=

Lösungen

1. Aufgabe

aa

2. Aufgabe

9a\sqrt{9a}

3. Aufgabe

12⋅a12\cdot\sqrt{a}

Hinweis: Wir schreiben statt auch einfach .

M205: Dekadisches Zahlensystem, Gleitkommadarstellung, Abkürzungen

  1. Formen Sie bitte in Gleitkommadarstellung um: 6270 = …; 0,0045 = …; 150 Millionen = …
  2. Wie ist das dekadische Zahlensystem aufgebaut? Wiederholen Sie bitte hier.
  3. Was bedeuten die Vorsilben „Mega-“ und „Milli-“ in Potenzschreibweise?

Lösungen

1. Aufgabe

6,27⋅1036{,}27\cdot 10^3
4,5⋅10–34{,}5\cdot 10^{-3}
1,5⋅1081{,}5\cdot 10^8

3. Aufgabe

10610^6
10–310^{-3}

Lösung
100 rote Kerzen müssen verbrannt werden.

M206: Einfache Textbeispiele überschlagsmäßig und genau rechnen

  1. Ein Hurrikan braucht drei Tage, um eine Strecke von 1200 km zurückzulegen. Wie groß ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit? Rechnen Sie zuerst überschlagsmäßig, und dann genau.
  2. Licht hat eine Geschwindigkeit von 300.000 km/s. Die Entfernung von der Sonne zur Erde ist 150 Millionen km. Wie lange braucht das Licht von der Sonne zur Erde? Rechnen Sie zuerst überschlagsmäßig, und dann genau.
  3. Alle zwei Monate verdoppelt sich der Bitcoin-Kurs. Vorausgesetzt die Blase platzt nicht, und es geht so weiter: Wie lange dauert es ungefähr, bis aus 600 Euro 1 Million Euro geworden sind? Genau werden Sie das erst in späteren Mathekursen mit exponentiellen Funktionen rechnen.

Lösungen

1. Aufgabe
rund 20 km/h, genau 16,7 km/h

2. Aufgabe
rund 500 Sekunden, genau: 8 Minuten 20 Sekunden

3. Aufgabe
rund 22 Monate. Aber die Blase wird vorher platzen.

M207: Potenzen in Termen vereinfachen, herausheben und ausmultiplizieren

  1. Lösen Sie bitte die Klammern auf
    14–3r–2+6r–7=14-(3r-2)+(6r-7)=
    3s–4t–s–5t+t–2s=(3s-4t)-(s-5t)+(t-2s)=
  2. Vereinfachen Sie bitte durch Ausmultiplizieren
    –2a24a3+5a+1=-2a^2(4a^3+5a+1)=
    3a5a+3–5a2a+1=3a(5a+3)-5a(2a+1)=
    3a–25a+4–6a+42a–1=(3a-2)(5a+4)-(6a+4)(2a-1)=
  3. Vereinfachen Sie bitte durch Herausheben
    24a2–20a=24a^2-20a=
    4a3b–12a2b2=4a^3b-12a^2b^2=
  4. Möchten Sie dieses Thema perfektionieren? Weitere Aufgaben finden Sie im (dünnen) Buch auf Seite 11: Beispiele 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89

Lösungen

1. Aufgabe

9+3r9+3r
2t2t

2. Aufgabe

–8a5–10a3–2a2-8a^5-10a^3-2a^2
5a2+4a5a^2+4a
3a2–43a^2-4

3. Aufgabe

4a⋅6a–54a\cdot(6a-5)
4a2b⋅a–3b4a^2b\cdot(a-3b)

M208: Binomische Formeln

  1. Berechnen Sie bitte auf zwei Arten: Ausmultiplizieren und mit der binomischen Formel 1 und 2
    7a+42=(7a+4)^2=
    6a–52=(6a-5)^2=
    x–62=(x-6)^2=
  2. Schreiben Sie als Produkt (binomische Formel 1, 2 oder 3)
    9a2–16=9a^2-16=
    x2+12x+36=x^2+12x+36=
    4a2–20ab+25b2=4a^2-20ab+25b^2=
  3. Möchten Sie dieses Thema perfektionieren? Weitere Aufgaben finden Sie im (dünnen) Buch auf Seite 11: Beispiele 90 und 91

Lösungen

1. Aufgabe

49a2+56a+1649a^2+56a+16
36a2–60a+2536a^2-60a+25
x2–12x+36x^2-12x+36

2. Aufgabe

3a–4⋅3a+4(3a-4)\cdot(3a+4)
x+62(x+6)^2
2a–5b2(2a-5b)^2

M209: Formeln umformen

Formen Sie bitte die physikalischen Formeln um

  1. Epot=m⋅g⋅hE_{pot}=m \cdot g \cdot h


    m=m=


    g=g=


    h=h=
  2. E=mc2E=mc^2


    m=m=


    c=c=
  3. T=2π⋅lg=T=2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}=


    g=g=


    l=l=

Lösungen
1. Aufgabe

m=Epotg⋅hm= \frac{E_{pot}}{g \cdot h}
g=Epotm⋅hg= \frac{E_{pot}}{m \cdot h}
h=Epotm⋅gh= \frac{E_{pot}}{m \cdot g}

2. Aufgabe

m=Ec2m= \frac{E}{c^2}
c=Emc= \sqrt {\frac {E}{m}}

3. Aufgabe

l=g⋅T2π2l=g \cdot \left( \frac {T}{2\pi} \right) ^2
g=lT/2π2g= \frac {l}{\left( T/2 \pi \right) ^2}

M210: Lineare Gleichungen


  1. Lösen Sie bitte die Gleichung und rechnen Sie die Probe

    5x−13=475x-13=47
    46−16x=646-16x=6
    3x+42x−3+8=2x3x+2(3x+4)(2x-3)+8=2x(3x+2)

    Möchten Sie dieses Thema perfektionieren? Weitere Aufgaben finden Sie im (dünnen) Buch auf Seite 13: 104, 105, 106
  2. Zeichnen Sie bitte die linearen Funktionen

    y=2x−1y=2x-1
    y=−2x+3y=-2x+3
    3x−2y=43x-2y=4
  3. Lösen Sie bitte die folgenden linearen Textgleichungen

    • Wenn man zum Drittel einer Zahl ein Viertel derselben Zahl addiert, erhält man 70.

    • Gib zu einer Zahl zwei Drittel ihrer selbst hinzu und nimm vom Ergebnis ein Drittel weg, so bleibt 10.

    • Der Umfang eines Rechtecks beträgt 30 cm. Die Länge ist um 3 cm länger als die Breite. Berechnen Sie die Seitenlängen.

    • Möchten Sie dieses Thema perfektionieren? Weitere Aufgaben finden Sie unter diesem Link.

Lösungen

1. Aufgabe

L={12}L=\left\{ 12 \right\}
L={2,5}L=\left\{ 2,5 \right\}
L={−45}L=\left\{ – \frac{4}{5} \right\}

2. Aufgabe

3. Aufgabe

Die Zahl lautet 120.

Die Zahl lautet 9.

a=9,b=6a=9,\; b=6

M211: Produkt-Null-Satz

  1. Lösen Sie bitte die folgende Gleichung mit dem Produkt-Null-Satz

    x−2x+3=0(x-2)(x+3)=0
  2. Heben Sie bitte heraus und lösen Sie die Gleichung

    2x2−x=02x^2-x=0
  3. Umgekehrt zu Beispiel 1: Welche Gleichung hat folgende Lösungen

    x1=5x_1=5
    x2=−1x_2=-1

Lösungen
1. Aufgabe

L={2,−3}L=\left\{ 2,-3 \right\}
L={0,12}L=\left\{ 0, \frac {1}{2} \right\}
x−5⋅x+1(x-5)\cdot (x+1)

M212: Bruchgleichungen

Bestimmen Sie Hauptnenner, Definitionsmenge und Lösung der Bruchgleichung

4x−2=3x−1\frac {4}{x-2}=\frac {3}{x-1}

Lösung

Hauptnenner=x−2⋅x−1\text{Hauptnenner}=(x-2) \cdot (x-1)
D=ℝ∖{1,2}D=\mathbb{R} \setminus \left\{ 1, 2 \right\}
L={−2}L=\left\{ -2 \right\}

M213: Quadratische Gleichungen

  1. Lösen Sie bitte die quadratische Gleichung ohne Lösungsformel

    4x2−9=04x^2-9=0
    2x2+12=02x^2+12=0
    18x−3x2=018x-3x^2=0
  2. Lösen Sie bitte die quadratische Gleichungen

    x2+10x+24=0x^2+10x+24=0
    x2=8x−15x^2=8x-15
    x−52+2x+32=x+12+97(x-5)^2+(2x+3)^2=(x+1)^2+97
  3. Möchten Sie das perfektionieren? Weitere Beispiele finden Sie hier.
  4. Das Produkt zweier aufeinanderfolgenden Zahlen lautet 30. Berechnen Sie die beiden Zahlen.
  5. Wie groß sind die Seiten eines Rechtecks, dessen Diagonale 25 cm lang und der Umfang 62 cm lang ist?
  6. Möchten Sie das perfektionieren? Weitere Textaufgaben finden Sie hier.

Lösungen
1. Aufgabe

L={−32,+32}L=\left\{ -\frac{3}{2},+\frac{3}{2} \right\}
L={}L=\left\{ \ \right\}
L={0,6}L=\left\{ 0, 6 \right\}

2. Aufgabe

L={−4,−6}L=\left\{ -4, -6 \right\}
L={5,3}L=\left\{ 5, 3 \right\}
L={−4,4}L=\left\{ -4, 4 \right\}

4. Aufgabe

Die Zahlen lauten 5 und 6.

5. Aufgabe

Die Seiten lauten a=7 cm und b=24 cm.

M214: Lineare Gleichungssysteme

  1. Lösen Sie das lineare Gleichungssystem rechnerisch und machen Sie die Probe

    I:2x+3y=7I:2x+3y=7
    II:4x−y=7II: 4x-y=7
  2. Lösen Sie das lineare Gleichungssystem rechnerisch und machen Sie die Probe

    I:5x+3y=5I: 5x+3y=5
    II:12x+8y=14II: 12x+8y=14
  3. Lösen Sie das lineare Gleichungssystem rechnerisch und machen Sie die Probe

    I:8x+17y=−1I: 8x+17y=-1
    II:12x+11y=13II: 12x+11y=13
  4. Möchten Sie das perfektionieren? Sie finden weitere Beispiele im (dünnen Buch) auf Seite 15: 121-134

Lösungen
1. Aufgabe

L={2,1}L=\left\{ (2,1) \right\}

2. Aufgabe

L={−12,52}L=\left\{ (-\frac{1}{2},\frac{5}{2}) \right\}

3. Aufgabe

L={2,−1}L=\left\{ (2,-1) \right\}

M215: Lehrsatz des Pythagoras

  1. Wie lautet der Satz des Pythagoras? Wo gilt dieser Satz? Bitte um eine Skizze.
  2. Im rechtwinkeligen Dreieck: a=30 cm, b=40 cm. Wie groß ist die Hypothenuse c?
  3. Berechnen Sie die Diagonale im Quadrat mit Seitenlänge a=30 cm.
  4. Möchten Sie das perfektionieren? Sie finden weitere Übungsaufgaben hier.

Lösungen
1. Aufgabe

a2+b2=c2a^2+b^2=c^2

Der Satz des Pythagoras gilt im rechtwinkeligen Dreieck. a und b sind die Katheten – die kurzen Seiten. c ist die Hypotenuse – die lange Seite. Die Hypotenuse befindet sich gegenüber dem rechten Winkel.

2. Aufgabe

c=50cmc=50cm

3. Aufgabe

c=42,3cmc=42,3cm

M216: Kreis und Kugel

  1. Wie groß ist die Fläche einer Ringstraße, wenn der äußere Ring den Radius 2 km hat, und die Straße 20 m breit ist.
  2. Wie groß sind Volumen und Oberfläche einer Kugel mit Radius 1 m?
  3. Ein Kaktus teilt sein Volumen von 1 Liter auf eine Kugeln auf. Ein anderer Kaktus teilt das selbe Volumen auf zwei Kugeln auf. Ein weiterer Kaktus teilt dieses Volumen auf drei Kugeln auf. Wie sehr unterscheiden sich die Oberflächen dieser Kakteen?

Lösungen
1. Aufgabe

F=250.000m2(gerundet)F=250.000m^2 \text{(gerundet)}

2. Aufgabe

V=4,2m3V=4,2m^3
O=12,6m2O=12,6m^2

3. Aufgabe


M217: Würfel, Quader, Prisma


  1. Berechnen Sie Oberfläche und Volumen eines Würfels mit Seitenlänge a=3m.
  2. Berechnen Sie die Höhe eines Quaders mit quadratischer Grundfläche. Die Grundfläche ist 10 Quadratmeter, das Volumen ist 40 Kubikmeter.
  3. Eine Stange hat die Grundfläche eines rechtwinkeligen Dreiecks mit Katheten 3 cm und 4 cm. Sie ist ein Prisma mit einer Höhe von 3 Metern. Wie schwer ist sie, wenn sie aus Eisen besteht? Eisen hat eine Dichte von 8 g pro Kubikzentimeter.

Lösungen

1. Aufgabe

O=54m2O=54m^2
V=27m3V=27m^3

2. Aufgabe

h=4mh=4m

3. Aufgabe

Grundflaeche=12cm2\text{Grundflaeche} =12cm^2
V=3600cm3V=3600 cm^3
m=28,8kgm=28,8 kg

M218: Zylinder, Kegel

  • Angenommen ein Kaktus möchte sein Volumen von 1 Liter in Form eines Kegels aufteilen. Wie hoch wäre dieser Kegel, wenn die Grundfläche den selben Radius hätte als der Kaktus als Kugel?

    • Lösungen
    1. Aufgabe

    V=240lV=240l
    h=53cmh=53cm

    2. Aufgabe

    V=216cm3−75cm3=141cm3V=216cm^3-75cm^3=141cm^3
    A=141cm2A=141cm^2

    3. Aufgabe

    r=6,2cmr=6,2cm
    hKegel=25cmh_{Kegel}=25cm