Mein Kaktus kann Brüche
Mit diesen Aufgaben festigen Sie Ihr Wissen. Verwenden Sie auch Ihre Lernunterlagen, wenn es Probleme gibt. Die Lösungen finden Sie bei den Beispielen. Gerne können Sie ganz unten auch kommentieren wenn Sie Fragen haben, oder wenn Sie einen Fehler finden. Wenn Sie auch Mathematik 1 wiederholen möchten, dann bitte hier entlang.
Und hier sind die Aufgaben:
M201: Zahlen den Zahlenmengen zuordnen
- Wiederholung mit Übungsaufgaben: https://www.phyx.at/mathematik/m1/m04/
- Erklären Sie bitte die Zahlenmengen $latex \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q},\mathbb{I}, \mathbb{R}$
- Welchen Zahlenmenge ist die Dezimalzahlen 0,45 zuzordnen?
Lösungen
2. Aufgabe
$latex \mathbb{N}$ Menge der natürlichen Zahlen (keine Kommastellen, positiv)
$latex \mathbb{Z}$ Menge der ganzen Zahlen (keine Kommastellen, positiv und negativ)
$latex \mathbb{Q}$ Menge der Bruchzahlen (Rationale Zahlen, Zahl ohne Kommastelle / Zahl ohne Kommastelle; positiv und negativ, alle Deziamlzahlen (Kommazahlen) sind ebenso Bruchzahlen, wenn sie nicht unendlich viele Kommastellen haben)
$latex \mathbb{I}$ Menge der irrationale Zahlen (Zahlen, die man nicht als Dezimalzahlen mit endlich vielen Kommastellen darstellen kann, positiv und negativ)
$latex \mathbb{R}$ Menge der reellen Zahlen (Rationale und irrationale Zahlen zusammen, positiv und negativ, also “alle” Zahlen, mit denen wir arbeiten)
3. Aufgabe
0,45 ist eine rationale Zahl, denn
$latex 0,45=\dfrac{45}{100}$
M202: Rechengesetze für Potenzen
- Berechnen Sie bitte
$latex a+a+a=$
$latex a \cdot a \cdot a \cdot a=$
$latex ab+3ab+2ab-ab^2=$ - Berechnen Sie bitte
$latex a^5 \cdot a^3 \cdot a^9=$
$latex \dfrac {a^2}{a^5} \cdot a^2=$
$latex \dfrac {a^{-2}}{a^{-5}} \cdot a^2=$
$latex a^0+a^1=$ - Die Rechengesetzte: Wie werden Potenzen gleicher Basen multipliziert und dividiert, wie werden Potenzen potenziert?
- Jetzt noch diese Übungsaufgaben Potenzrechnen zum Zusammenfassen
- Möchten Sie dieses Thema perfektionieren? Das könnten Sie mit diesen Aufgaben tun.
Lösungen
1. Aufgabe
$latex 3a$
$latex a^4$
$latex 6ab-ab^2$
2. Aufgabe
$latex a^{17}$
$latex \dfrac {1}{a}=a^{-1}$
$latex \dfrac {1}{a^{-5}}=a^5$
$latex 1+a$
3. Aufgabe
Potenzen gleicher Basen werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert. Potenzen gleicher Basen werden dividiert, indem man ihre Exponenten subtrahiert. Potenzen werden potenziert, in dem man die Exponenten multipliziert.
M203: Potenzen mit rationalen Exponenten (Wurzeln)
- Wandeln Sie bitte die Pozenz in Wurzelschreibweise um
$latex a^{1/2}=$
$latex a^{3/2}=$
$latex a^{3/5}=$ - Berechnen Sie bitte
$latex a^{3/2} \cdot a^{2/3} \cdot a^{-1}=$
$latex \dfrac {a^{3/2}}{a^{5/2}} \cdot a^2=$
$latex \dfrac {a^{-{3/2}}}{a^{5}} \cdot a^{-3/2}=$ - Wandeln Sie bitte die Wurzel in Potenzschreibweise um
$latex \sqrt [3]{a}=$
$latex \sqrt [2]{a^5}=$
$latex \sqrt [3]{a^{-2}}=$
Lösungen
1. Aufgabe
$latex \sqrt {a}$
$latex \sqrt {a^3}$
$latex \sqrt [5]{a^3}$
2. Aufgabe
$latex a^{\frac{7}{6}}$
$latex a$
$latex a^{-8}$
3. Aufgabe
$latex a^{\frac{1}{3}}$
$latex a^{\frac{5}{2}}$
$latex a^{-\frac{2}{3}}$
M204: Rechnen mit Wurzeln: Zahlen und Terme “in” und “aus” einer Wurzel bringen
- Verbinden Sie bitte die Wurzeln
$latex \sqrt [3]{a} \cdot \sqrt [3]{a^2}=$ - Bringen Sie bitte die Zahl in die Wurzel
$latex 3 \cdot \sqrt [2]{a}=$ - Bringen Sie bitte die Zahl aus der Wurzel
$latex 3 \cdot \sqrt [2]{16 \cdot a}=$
Lösungen
1. Aufgabe
$latex a$
2. Aufgabe
$latex \sqrt [2]{9a}$
3. Aufgabe
$latex 12 \cdot \sqrt {a} $
Hinweis: wir schreiben statt $latex \sqrt [2]{a}$ auch einfach $latex \sqrt {a}$.
M205: Dekadisches Zahlensystem, Gleitkommadarstellung, Abkürzungen
- Formen Sie bitte in Gleitkommadarstellung um
6270=
0,0045=
150 Millionen= - Wie ist das dekadische Zahlensystem aufgebaut? Wiederholen Sie bitte hier.
- Was bedeuten die Vorsilben “Mega-” und “Milli-” in Potenzschreibweise?
Lösungen
$latex 6,27 \cdot 10^3$
$latex 4,5 \cdot 10^{-3}$
$latex 1,5 \cdot 10^8$
3. Aufgabe
$latex 10^6$
$latex 10^{-3}$
Zwischendurch ein wenig tüfteln? Das ist ein hübsches Beispiel, das Sie mit Hausverstand und etwas Wissen über Prozente sicher lösen können. Überraschendes Ergebnis.
Lösung
M206: Einfache Textbeispiele überschlagsmäßig und genau rechnen
- Ein Hurrikan braucht drei Tage, um eine Strecke von 1200 km zurückzulegen. Wie groß ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit? Rechnen Sie zuerst überschlagsmäßig, und dann genau.
- Licht hat eine Geschwindigkeit von 300.000 km/s. Die Entfernung von der Sonne zur Erde ist 150 Millionen km. Wie lange braucht das Licht von der Sonne zur Erde? Rechnen Sie zuerst überschlagsmäßig, und dann genau.
- Alle zwei Monate verdoppelt sich der Bitcoin-Kurs. Vorausgesetzt die Blase platzt nicht, und es geht so weiter: Wie lange dauert es ungefähr, bis aus 600 Euro 1 Million Euro geworden sind? Genau werden Sie das erst in späteren Mathekursen mit exponentiellen Funktionen rechnen.
Lösungen
rund 20 km/h, genau 16,7 km/h
2. Aufgabe
rund 500 Sekunden, genau: 8 Minuten 20 Sekunden
3. Aufgabe
rund 22 Monate. Aber die Blase wird vorher platzen.
M207: Potenzen in Termen vereinfachen, herausheben und ausmultiplizieren
- Lösen Sie bitte die Klammern auf
$latex 14-(3r-2)+(6r-7)=$
$latex (3s-4t)-(s-5t)+(t-2s)=$ - Vereinfachen Sie bitte durch Ausmultiplizieren
$latex -2a^2(4a^3+5a+1)=$
$latex 3a(5a+3)-5a(2a+1)=$
$latex (3a-2)(5a+4)-(6a+4)(2a-1)=$ - Vereinfachen Sie bitte durch Herausheben
$latex 24a^2-20a=$
$latex 4a^3b-12a^2b^2=$ - Möchten Sie dieses Thema perfektionieren? Weitere Aufgaben finden Sie im (dünnen) Buch auf Seite 11: Beispiele 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89
Lösungen
$latex 9+3r$
$latex 2t$
2. Aufgabe
$latex -8a^5-10a^3-2a^2$
$latex 5a^2+4a$
$latex 3a^2-4$
3. Aufgabe
$latex 4a \cdot (6a-5)$
$latex 4a^2b \cdot (a-3b)$
M208: Binomische Formeln
- Berechnen Sie bitte auf zwei Arten: Ausmultiplizieren, und durch die Binomische Formel 1 und 2
$latex (7a+4)^2=$
$latex (6a-5)^2=$
$latex (x-6)^2=$ - Schreiben Sie als Produkt, indem Sie die binomische Formel 1, 2 oder 3 anwenden
$latex 9a^2-16=$
$latex x^2+12x+36=$
$latex 4a^2-20ab+25b^2=$ - Möchten Sie dieses Thema perfektionieren? Weitere Aufgaben finden Sie im (dünnen) Buch auf Seite 11: Beispiele 90 und 91
Lösungen
$latex 49a^2+56a+16$
$latex 36a^2-60a+25$
$latex x^2-12x+36$
2. Aufgabe
$latex (3a-4) \cdot (3a+4)$
$latex (x+6)^2$
$latex (2a-5b)^2$
M209: Formeln umformen
Formen Sie bitte die physikalischen Formeln um
- $latex E_{pot}=m \cdot g \cdot h$
$latex m=$
$latex g=$
$latex h=$ - $latex E=mc^2$
$latex m=$
$latex c=$ - $latex T=2 \pi \cdot \sqrt {\dfrac{l}{g}}=$
$latex g=$
$latex l=$
Lösungen
$latex m= \dfrac{E_{pot}}{g \cdot h}$
$latex g= \dfrac{E_{pot}}{m \cdot h}$
$latex h= \dfrac{E_{pot}}{m \cdot g}$
2. Aufgabe
$latex m= \dfrac{E}{c^2}$
$latex c= \sqrt {\dfrac {E}{m}}$
3. Aufgabe
$latex l=g \cdot \left( \dfrac {T}{2\pi} \right) ^2$
$latex g= \dfrac {l}{\left( T/2 \pi \right) ^2}$
Mein anderer Kaktus kann auch Brüche
M210: Lineare Gleichungen
- Lösen Sie bitte die Gleichung und rechnen Sie die Probe
$latex 5x-13=47$
$latex 46-16x=6$
$latex (3x+4)(2x-3)+8=2x(3x+2)$
Möchten Sie dieses Thema perfektionieren? Weitere Aufgaben finden Sie im (dünnen) Buch auf Seite 13: 104, 105, 106 - Zeichnen Sie bitte die linearen Funktionen
$latex y=2x-1$
$latex y=-2x+3$
$latex 3x-2y=4$ - Lösen Sie bitte die folgenden linearen Textgleichungen
• Wenn man zum Drittel einer Zahl ein Viertel derselben Zahl addiert, erhält man 70.
• Gib zu einer Zahl zwei Drittel ihrer selbst hinzu und nimm vom Ergebnis ein Drittel weg, so bleibt 10.
• Der Umfang eines Rechtecks beträgt 30 cm. Die Länge ist um 3 cm länger als die Breite. Berechnen Sie die Seitenlängen.
• Möchten Sie dieses Thema perfektionieren? Weitere Aufgaben finden Sie unter diesem Link.
Lösungen
$latex L=\left\{ 12 \right\}$
$latex L=\left\{ 2,5 \right\}$
$latex L=\left\{ – \dfrac{4}{5} \right\}$
2. Aufgabe
Klick zum Vergrößern, via wolframalpha.com: Eingabe plot (y=2x-1) and (y=-2x+3) and (3x-2y=4)
3. Aufgabe
Die Zahl lautet 120.
Die Zahl lautet 9.
$latex a=9$, $latex b=6$
M211: Produkt-Null-Satz
- Lösen Sie bitte die folgende Gleichung mit dem Produkt-Null-Satz
$latex (x-2)(x+3)=0$ - Heben Sie bitte heraus und lösen Sie die Gleichung
$latex 2x^2-x=0$ - Umgekehrt zu Beispiel 1: Welche Gleichung hat folgende Lösungen
$latex x_1=5$
$latex x_2=-1$
Lösungen
$latex L=\left\{ 2,-3 \right\}$
$latex L=\left\{ 0, \frac {1}{2} \right\}$
$latex (x-5)\cdot (x+1)$
$latex
M212: Bruchgleichungen
Bestimmen Sie Hauptnenner, Definitionsmenge und Lösung der Bruchgleichung
$latex \dfrac {4}{x-2}=\dfrac {3}{x-1}$
Lösung
$latex D= \mathbb{R} \setminus \left\{ 1, 2 \right\}$
$latex L=\left\{ -2 \right\}$
M213: Quadratische Gleichungen
- Lösen Sie bitte die quadratische Gleichung ohne Lösungsformel
$latex 4x^2-9=0$
$latex 2x^2+12=0$
$latex 18x-3x^2=0$ - Lösen Sie bitte die quadratische Gleichungen
$latex x^2+10x+24=0$
$latex x^2=8x-15$
$latex (x-5)^2+(2x+3)^2=(x+1)^2+97$ - Möchten Sie das perfektionieren? Weitere Beispiele finden Sie hier.
- Das Produkt zweier aufeinanderfolgenden Zahlen lautet 30. Berechnen Sie die beiden Zahlen.
- Wie groß sind die Seiten eines Rechtecks, dessen Diagonale 25 cm lang und der Umfang 62 cm lang ist?
- Möchten Sie das perfektionieren? Weitere Textaufgaben finden Sie hier.
Lösungen
$latex L=\left\{ -\frac{3}{2},+\frac{3}{2} \right\}$
$latex L=\left\{ \right\}$
$latex L=\left\{ 0, 6 \right\}$
2. Aufgabe
$latex L=\left\{ -4, -6 \right\}$
$latex L=\left\{ 5, 3 \right\}$
$latex L=\left\{ -4, 4 \right\}$
4. Aufgabe
Die Zahlen lauten 5 und 6.
5. Aufgabe
Die Seiten lauten a=7 cm und b=24 cm.
M214: Lineare Gleichungssysteme
- Lösen Sie das lineare Gleichungssystem rechnerisch und machen Sie die Probe
$latex I:2x+3y=7$
$latex II: 4x-y=7$ - Lösen Sie das lineare Gleichungssystem rechnerisch und machen Sie die Probe
$latex I: 5x+3y=5$
$latex II: 12x+8y=14$ - Lösen Sie das lineare Gleichungssystem rechnerisch und machen Sie die Probe
$latex I: 8x+17y=-1$
$latex II: 12x+11y=13$ - Möchten Sie das perfektionieren? Sie finden weitere Beispiele im (dünnen Buch) auf Seite 15: 121-134
Lösungen
$latex L=\left\{ (2,1) \right\}$
2. Aufgabe
$latex L=\left\{ (-\frac{1}{2},\frac{5}{2}) \right\}$
3. Aufgabe
$latex L=\left\{ (2,-1) \right\}$
M215: Lehrsatz des Pythagoras
- Wie lautet der Satz des Pythagoras? Wo gilt dieser Satz? Bitte um eine Skizze.
- Im rechtwinkeligen Dreieck: a=30 cm, b=40 cm. Wie groß ist die Hypothenuse c?
- Berechnen Sie die Diagonale im Quadrat mit Seitenlänge a=30 cm.
- Möchten Sie das perfektionieren? Sie finden weitere Übungsaufgaben hier.
Lösungen
$latex a^2+b^2=c^2$
Der Satz des Pythagoras gilt im rechtwinkeligen Dreieck. a und b sind die Katheten – die kurzen Seiten. c ist die Hypotenuse – die lange Seite. Die Hypotenuse befindet sich gegenüber dem rechten Winkel.
2. Aufgabe
$latex c=50cm$
3. Aufgabe
$latex c=42,3cm$
M216: Kreis und Kugel
- Wie groß ist die Fläche einer Ringstraße, wenn der äußere Ring den Radius 2 km hat, und die Straße 20 m breit ist.
- Wie groß sind Volumen und Oberfläche einer Kugel mit Radius 1 m?
- Ein Kaktus teilt sein Volumen von 1 Liter auf eine Kugeln auf. Ein anderer Kaktus teilt das selbe Volumen auf zwei Kugeln auf. Ein weiterer Kaktus teilt dieses Volumen auf drei Kugeln auf. Wie sehr unterscheiden sich die Oberflächen dieser Kakteen?
Lösungen
$latex F=250.000m^2 \text{(gerundet)}$
2. Aufgabe
$latex V=4,2m^3$
$latex O=12,6m^2$
3. Aufgabe
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M217: Würfel, Quader, Prisma
- Berechnen Sie Oberfläche und Volumen eines Würfels mit Seitenlänge a=3m.
- Berechnen Sie die Höhe eines Quaders mit quadratischer Grundfläche. Die Grundfläche ist 10 Quadratmeter, das Volumen ist 40 Kubikmeter.
- Eine Stange hat die Grundfläche eines rechtwinkeligen Dreiecks mit Katheten 3 cm und 4 cm. Sie ist ein Prisma mit einer Höhe von 3 Metern. Wie schwer ist sie, wenn sie aus Eisen besteht? Eisen hat eine Dichte von 8 g pro Kubikzentimeter.
Lösungen
$latex O=54m^2$
$latex V=27m^3$
2. Aufgabe
$latex h=4m$
3. Aufgabe
$latex \text{Grundflaeche} =12cm^2$
$latex V=3600 cm^3$
$latex m=28,8 kg$
M218: Zylinder, Kegel
- Eine zylindrische Regentonne hat einen Innendurchmesser von 60 cm und eine Höhe von 85cm. Wie viel Liter Wasser (V) fasst sie? Wie hoch (h) stehen 150 Liter Regenwasser in ihr?
- Das abgebildete Werkstück stellt einen Quader dar, in den ein Zylinder eingefräst wurde. (Maße in Zentimeter). Welches Volumen (V) besitzt das Werkstück? Das Werkstück soll komplett mit Farbe bestrichen werden. Wie groß ist die zu bestreichende Fläche (O)?
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- Angenommen ein Kaktus möchte sein Volumen von 1 Liter in Form eines Kegels aufteilen. Wie hoch wäre dieser Kegel, wenn die Grundfläche den selben Radius hätte als der Kaktus als Kugel?
Lösungen
$latex V=240l$
$latex h=53cm$
2. Aufgabe
$latex V=216cm^3-75cm^3=141cm^3$
$latex A=141cm^2$
3. Aufgabe
$latex r=6,2cm$
$latex h_{Kegel}=25cm$
