14. Textgleichungen | Physikalische Soiree

Sie können die Lösung einer Textgleichung angeben. Dazu lernen Sie die Schritte kennen, damit das immer gelingt.

1. Formeln: Gleichungen im Alltag

Wie lange braucht das Schiff über das Meer?

Wir müssen nicht immer alle Zahlenwerte kennen. Oft ist es einfacher, eine Gleichung zu kennen.

Beispiel

Geschwindigkeit

Wörter 1

die Geschwindigkeit, die Frage, schnell, kommen, vorankommen, typisch, der Wert, die Zahl, die Einheit, sprechen, der Kilometer (km), die Stunde (h), der Weg, die Zeit, die Formel, bestehen, berühmt, das Objekt, schön, schreiben, aufschreiben, das Verständnis, bedeuten, möchten, die Bedeutung, legen, zurücklegen, brauchen, achten, die Zukunft

Geschwindigkeit (km/h)

Die Geschwindigkeit ist die Antwort auf die Frage: “Wie schnell komme ich voran?”

Ein typischer Wert für eine Geschwindigkeit ist 50 km/h. Dieser Wert besteht aus Zahl und Einheit. Die Zahl ist 50. Die Einheit ist km/h. Gesprochen: Kilometer pro Stunde, Kilometer durch Stunde. Kilometer – der Weg. Stunde – die Zeit.

Geschwindigkeit ist Weg durch Zeit.

Geschwindigkeit = Weg / Zeit

$v=\dfrac{s}{t}$

Das ist eine Gleichung. Sie ist berühmt. Wir nennen berühmte Gleichungen auch Formeln. Das ist also eine Formel. Die Formel für die Geschwindigkeit von Objekten. Wir möchten immer wissen, was ihre Variablen bedeuten, und schreiben Sie deshalb noch einmal schön auf.

$v \text{ ... Geschwindigkeit (velocity v)}$
$s \text{ ... Weg (Strecke s)}$
$t \text{ ... Zeit (time t)}$

Eine Formel besteht immer aus der (1) Formel und der (2) Erklärung, was ihre Variablen bedeuten. Und aus dem (3) Verständnis, was sie beschreibt.

(1) Formel

$v=\dfrac{s}{t}$

(2) Bedeutung der Variablen

$v \text{ ... Geschwindigkeit}$
$s \text{ ... Weg}$
$t \text{ ... Zeit}$

(3) Verständnis

Je mehr Weg ich in einer bestimmten Zeit zurücklege, desto größer ist meine Geschwindigkeit. Je weniger Zeit ich für eine bestimmte Strecke brauche, desto größer ist die Geschwindigkeit.

Tipp: Alles, was in einer Formel über dem Bruchstrich steht (Weg), macht das Ergebnis (Geschwindigkeit) größer. Alles was unter dem Bruchstrich steht (Zeit), macht das Ergebnis kleiner.

Wir möchten in Zukunft immer auf diese drei Punkte achten:

(1) Formel
(2) Bedeutung der Variablen
(3) Verständnis

Aufgabe: Berechnen Sie die Geschwindigkeit für einen Zug, der in 3 Stunden 210 km fährt.

Lösung

$v=70 \dfrac{km}{h}$

Aufgabe: Berechne Sie die Geschwindigkeit für einen Menschen, der in 4 Stunden 16 km geht.

Lösung

$v=4 \dfrac{km}{h}$

Aufgabe: Berechnen Sie die Geschwindigkeit einer Fahrradfahrerin, die in 2 Stunden 30 km fährt.

Lösung

$v=15 \dfrac{km}{h}$

Formeln funktionieren in mehrere Richtungen

$v=\dfrac{s}{t}$

So können wir die Geschwindigkeit berechnen. Das haben wir auch schon in einigen Beispielen getan. Was ist, wenn wir die Geschwindigkeit kennen, die Zeit kennen, den Weg aber nicht? Kein Problem. Um in diesem Fall den Weg zu berechnen, stellen wir die Formel um.

Aus

$v=\dfrac{s}{t}$

wird, wenn wir beide Seiten mit t multiplizieren,

$v \cdot t=s$

Und wenn wir es anders herum aufschreiben,

$s=v \cdot t$

Mit dieser Form der gleichen Formel können wir den Weg s ausrechnen, wenn wir Geschwindigkeit v und Zeit t kennen.

Aufgabe: Ein Zug fährt mit 225 km/h zwei Stunden lang. Welchen Weg legt er zurück?

Lösung

450 km

Aufgabe: Ein Mensch geht mit 4 km/h sechs Stunden lang. Welchen Weg legt er zurück?

Lösung

24 km

Aufgabe: Ein Autofahrer fährt mit 70 km/h vier Stunden lang. Welchen Weg legt er zurück?

Lösung

280 km

Noch eine Form

Es gibt noch eine dritte Form, mit der Formel für die Geschwindigkeit zu arbeiten. Was ist, wenn wir die Geschwindigkeit kennen, den Weg kennen, die Zeit aber nicht? Wir stellen die Formel noch einmal um.

Aus

$v=\dfrac{s}{t}$

wird, wenn wir beide Seiten mit t multiplizieren,

$v \cdot t=s$

Und wenn wir beide Seiten durch c dividieren,

$\dfrac{s}{v}=t$

Und wir schreiben es wieder anders herum auf:

$t=\dfrac{s}{v}$

Aufgabe: Wie lange braucht eine Läuferin, die eine Strecke von 20 km mit 10 km/h läuft?

Lösung

2 Stunden

Aufgabe: Wie lange braucht ein Auto, das mit 50 km/h eine Strecke von 200 km zurücklegt?

Lösung

4 Stunden

Aufgabe: Wie lange braucht ein Vogel, der mit 20 km/h eine Strecke von 100 km zurücklegt?

Lösung

5 Stunden

Zusammenfassung

Wörter 2

die Formel, wichtig, berühmt, verbinden, die Verbindung, die Variable, die Gleichung, finden, das Buch, das Verzeichnis, bestimmt, die Version, sehen, lernen, kennenlernen, vorhanden sein, lernen, auswendig, nie, stellen, umstellen, eher, formen, umformen, äquivalent, gleich, wert, der Wert, gleichwertig, die Geschwindigkeit, die Formel, die Geschwindigkeitsformel

Eine Formel ist eine (wichtige/berühmte) Verbindung von Variablen in einer Gleichung. Viele Formeln finden wir in Büchern oder Verzeichnissen. Obwohl wir sie in einer bestimmten Version sehen/lernen/kennenlernen, sind sie auch in allen anderen Versionen vorhanden. Wir lernen diese weiteren Versionen nie auswendig. Wir stellen sie besser selbst zur gewünschten Version um. In Österreich sagen wir dazu eher “umformen”. Wir sagen, dass die verschiedenen Versionen der Formel “äquivalent” sind, das bedeutet: “gleichwertig”. Das ist der vierte Punkt (4), den wir bei Gleichungen/Formeln beachten wollen.

(4) Folgende Versionen der bekannten Geschwindigkeitsformel sind äquivalent:

$v=\dfrac{s}{t}$

$s=v \cdot t$

$t=\dfrac {s}{v}$

Für jede Variable gibt es eine äquivalente Form. Wenn eine Formel drei Variablen hat, brauchen wir Zahlen für zwei Variablen, um den Wert der dritten Variable zu berechnen. Wir wählen dazu die passende äquivalente Form.

Geschwindigkeit, Weg, Zeit

Übungen

Wörter 3

schreiben, aufschreiben, folgen, die Situation, der Umstand, der Sachverhalt, der Punkt, die Variable, der Buchstabe, frei, wählen, dürfen

Schreiben Sie bitte für folgende Situationen/Umstände/Sachverhalte die folgenden Punkte auf. Die Variablen/Buchstaben dürfen Sie frei wählen.

(1) Formel
(2) Bedeutung der Variablen
(3) Verständnis
(4) Äquivalente Formen

Stundenlohn

Wörter 4

der Lohn, die Stunde, der Stundenlohn, das Geld, verdienen, die Anzahl, die Stunde

Der Stundenlohn ist das verdiente Geld durch die Anzahl der Stunden.

Lösung

(1) Formel

$s=\dfrac{g}{t}$

(2) Variablen

$s \text{ ... Stundenlohn}$

$g \text{ ... Geld}$

$t \text{ ... Zeit}$

(3) Verständnis

Je mehr Geld in einer bestimmten Zeit verdient wird, desto höher der Stundenlohn. Je mehr Zeit für eine bestimmte Geldmenge gearbeitet wird, desto geringer ist der Stundenlohn.

(4) Äquivalente Formen

$s=\dfrac{g}{t}$

$g=s \cdot t$

$t=\dfrac {g}{s}$

Dichte

Wörter 5

die Dichte, das Material, die Masse (die Menge), das Volumen (der Rauminhalt)

Die Dichte eines Materials ist seine Masse durch sein Volumen.

Lösung

(1) Formel

$\rho=\dfrac{M}{V}$

(2) Variablen

$\rho \text{ ... Dichte ... Rho}$

$M \text{ ... Masse}$

$Volumen \text{ ... Volumen}$

(3) Verständnis

Je mehr Masse in einem bestimmten Volumen ist, desto größer ist die Dichte. Je größer das Volumen ist, in dem eine bestimmte Masse ist, desto geringer ist die Dichte.

(4) Äquivalente Formen

$\rho=\dfrac{M}{V}$

$M=\rho \cdot V$

$V=\dfrac {M}{\rho}$

Durchfluss

Wörter 6

durch, fließen, durchfließen, der Fluss, der Durchfluss, das Rohr, die Anzahl, der Liter, die Zeit

Der Durchfluss durch ein Rohr ist die Anzahl an Litern pro Zeit.

Lösung

(1) Formel

$d=\dfrac{V}{t}$

(2) Variablen

$d \text{ ... Durchfluss}$

$l \text{ ... Liter}$

$t \text{ ... Zeit}$

(3) Verständnis

Je mehr Liter Flüssigkeit in einer bestimmten Zeit durch ein Rohr fließen, desto größer ist der Durchfluss. Je mehr Zeit gebraucht wird, bis eine bestimmte Zahl an Litern Flüssigkeit durch ein Rohr fließt, desto geringer ist der Durchfluss.

(4) Äquivalente Formen

$d=\dfrac{l}{t}$

$l=d \cdot t$

$t=\dfrac {l}{d}$

Konzentration

Wörter 7

die Konzentration (Menge pro Volumen oder Menge pro Masse), die Chemikalie (das chemische Produkt, das Mittel), das Beispiel, die Menge, die Masse, das Volumen, die Flüssigkeit, zur Verfügung stehen, gering/geringer/am geringsten

Die Konzentration einer Chemikalie ist zum Beispiel die Menge dieser Chemikalie durch das Volumen der Flüssigkeit.

Lösung

(1) Formel

$c=\dfrac{m}{v}$

(2) Variablen

$c \text{ ... Konzentration}$

$M \text{ ... Masse}$

$V \text{ ... Volumen}$

(3) Verständnis

Je mehr Masse in einem bestimmten Volumen ist, desto größer ist die Konzentration. Je mehr Volumen für eine bestimmte Masse zur Verfügung steht, desto geringer ist die Konzentration.

(4) Äquivalente Formen

$c=\dfrac{M}{V}$

$M=c \cdot V$

$V=\dfrac {M}{c}$

2. Gleichungen selbst finden

Ein Sachverhalt ist etwas aus dem Alltag. Beschrieben in einem Satz. Er kann oft in eine Gleichung übersetzt werden.

Beispiele

Verschiedene Sachverhalte und ihre Gleichungen:

Hunde und Katzen

Wörter 8

der Hund, die Katze, der Satz, der Sachverhalt (= das Problem/das Thema/die Angelegenheit/der Fall/wie sich eine Sache verhält), der Alltag, übersetzen, der Ort, doppelt, halb, stimmen, übereinstimmen, sehen, zweimal, reduzieren (verringern), analog (entsprechend/ähnlich)

Sachverhalt 1: Es gibt an einem Ort gleich viele Katzen k wie Hunde h.

$k=h$

Sachverhalt 2: Es gibt doppelt so viele Katzen k wie Hunde h.

Falsch wäre:
$2k=h$

Diese Gleichung sagt: “Wenn wir die Zahl der Katzen verdoppeln, dann ist das die Zahl der Hunde. Das stimmt aber nicht mit dem Sachverhalt überein.

So können wir die Gleichung richtig aufschreiben:

$\dfrac {k}{2}=h$

Diese Gleichung sagt: Wenn wir die Zahl der Katzen halbieren, dann ist das die Zahl der Hunde. Das stimmt mit dem Sachverhalt überein. Aus “doppelt so viele” wird in der Gleichung “dividiert durch 2”.

Oder wir multiplizieren mit 2, aber auf der anderen Seite.

$k=2h$

Diese Gleichung sagt: Die Zahl der Katzen ist zweimal die Zahl der Hunde. Das stimmt mit dem Sachverhalt überein.

Sachverhalt 3: Insgesamt gibt es 12 Katzen und Hunde.

$k+h=12$

Sachverhalt 4: Es gibt zwei Hunde mehr als Katzen.

$k+2=h$

Aus dem Satz “Es gibt zwei Hunde mehr als Katzen” wird in der Gleichung “die Zahl der Katzen plus zwei ist die Zahl der Hunde. Oder:

$k=h-2$

Aus dem Satz “Es gibt zwei Hunde mehr als Katzen” wird in der Gleichung “die Zahl der Katzen ist die Zahl der Hunde um 2 reduziert.

Hunde, Katzen, Vögel

Wörter 9

der Hund, die Katze, der Vogel, das Heim, das Tier, das Tierheim, das Bein, befinden

In einem Tierheim befinden sich Hunde (h), Katzen (k) und Vögel (v).

Es gibt gleich viele Katzen wie Vögel.

Lösung

$k=v$

Es gibt so viele Hunde wie Katzen und Vögel zusammen.

Lösung

$h=v+k$

Im Tierheim gibt es insgesamt 20 Hunde, Katzen und Vögel.

Lösung

$h+k+v=20$

Im Tierheim sind doppelt so viele Hunde wie Katzen.

Lösung

$h=2k$

Wir müssen die Zahl der Katzen verdoppeln, damit die Gleichung stimmt

Im Tierheim sind doppelt so viele Hunde wie Katzen und Vögel zusammen.

Lösung

$h=2(k+v)$

Internetprovider

Wörter 10

das Internet, der Provider, monatlich, das Monat, die Gebühr, die Internetgebühr, der Grund, die Grundgebühr, das Gigabyte, die Daten, kosten, der Euro

Die monatliche Internetgebühr M: es gibt eine Grundgebühr G und d Gigabyte Daten kosten Sie je c Euro.

Lösung

$M=G+c\cdot d$

3. Gleichungen umformen

Wörter 11

nehmen, voran, vorangehen, die Gleichung, die Übung, egal, mathematisch, arbeiten

Wir nehmen noch einmal die Gleichung einer vorangegangenen Übung. Es ist uns jetzt egal, woher sie kommt. Es ist uns jetzt egal, was sie bedeutet. Trotzdem können wir mathematisch mit ihr arbeiten.

$h=2(k+v)$

Aufgabe

Formen Sie die Gleichung um. Die beiden anderen Variablen sollen ausgedrückt werden.

Lösung

Für die Variable k:

$\begin {aligned} h&=2(k+v)\\ \dfrac{h}{2}&=k+v\\ \dfrac{h}{2}-v&=k\\ k&=\dfrac{h}{2}-v \end {aligned}$

Analog für die Variable v:

$\begin {aligned} h&=2(k+v)\\ \dfrac{h}{2}&=k+v\\ \dfrac{h}{2}-k&=v\\ v&=\dfrac{h}{2}-k \end {aligned}$

Übungen

Lineare Gleichung

Formen Sie bitte die Gleichung um. Drücken Sie die andere Variable aus.

$y=2x+1$

Lösung

$\begin {aligned} y&=2x+1\\ y-1&=2x\\ \dfrac{y-1}{2}&=x\\ x&=\dfrac{y-1}{2} \end {aligned}$

Potenzielle Energie

Wörter 12

je, desto, das Objekt, die Energie, potenziell, potenzielle Energie, die Höhe, aufgrund, umformen, ausdrücken

Je höher ein Objekt ist, desto mehr Energie hat es aufgrund seiner Höhe. Das ist die potenzielle Energie. Formen Sie bitte die Gleichung um. Drücken Sie die anderen Variablen aus.

$E=m \cdot g \cdot h$

$E \text{ ... Energie aufgrund der H\"ohe}$
$m \text{ ... Masse des Objekts}$
$g \text{ ... Erdbeschleunigung}$
$h \text{ ... H\"ohe}$

Lösung

$\begin {aligned} E&=m \cdot g \cdot h\\ m&=\dfrac{E}{g \cdot h}\\ g&=\dfrac{E}{m \cdot h}\\ h&=\dfrac{E}{m \cdot g} \end {aligned}$

Elektrizität

Wörter 13

die Elektrizität, die Spannung, der Widerstand, der Strom, der Zusammenhang, das Gesetz, ausdrücken

Strom, Spannung und Widerstand stehen bei der Elektrizität in einem einfachen Zusammenhang. Dieser Zusammenhang heißt “Ohm’sches Gesetz. Drücken Sie bitte die beiden anderen Variablen aus.

$U=R \cdot I$

$U \text{ ... Elektrische Spannung}$
$R \text{ ... Elektrischer Widerstand}$
$I \text{ ... Elektrischer Strom}$

Lösung

$\begin {aligned} U&=R \cdot I\\ R&=\dfrac{U}{I}\\ I&=\dfrac{U}{R} \end {aligned}$

Einsteins Formel

Wörter 14

Albert Einstein, die Energie, die Masse, ineinander, umwandeln, die Geschwindigkeit, das Licht, die Lichtgeschwindigkeit, der Zusammenhang, drücken, ausdrücken

Energie und Masse können ineinander umgewandelt werden. Sie stehen mit der Lichtgeschwindigkeit in einem einfachen Zusammenhang. Drücken Sie bitte die beiden anderen Variablen aus.

$E=m \cdot c^2$

$E \text{ ... Energie }$
$m \text{ ... Masse}$
$c^2 \text{ ... Lichtgeschwindigkeit zum Quadrat}$

Lösung

$\begin {aligned} E&=m \cdot c^2\\ m&=\dfrac{E}{c^2}\\ c^2&=\dfrac{E}{m}\\ c&=\sqrt{\dfrac{E}{m}} \end {aligned}$

4. Auf Wiedersehen

Gleichungen mit Texten sind lösbar. Der erste Schritt liegt im Verstehen. Das Verstehen liegt in der Sprache. Die Sprache kann man lernen. Schön, dass Sie im Sommerkurs dabei sind. Hier legen wir besonderen Wert auf die Entwicklung der Sprache.

Danke, Lena, für die Korrekturen.

Korrekturen: Maria Fatoba

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