Wenn du mit Prozenten richtig rechnen möchtest, machst du zum Trainieren viele Aufgaben, die alle sehr ähnlich ablaufen. Du wirst die Unterschiede dann bald spüren. Es gibt keine Abkürzung – du musst durch alle ruhig durch. Dann bist du Prozentprofi.
Um oder auf? Das Prozentrechnen ist ein sprachliches Problem. Wir wollen zuerst den Unterschied zwischen „um“ und „auf“ verstehen.
Wörter: weniger werden = reduziert werden = verkleinert werden = schrumpfen mehr werden = erhöht werden = vergrößert werden = ausdehnen
Auf wie viel Prozent ist es gewachsen?
Um wie viel Prozent ist es gewachsen?
Auf wie viel Prozent ist es reduziert worden?
Um wie viel Prozent ist es reduziert worden?
Du wirst lernen, “auf” von “um” zu unterscheiden.
Es ist um einige Prozent gewachsen. Wie viel ist es jetzt?
Es ist auf eine bestimmte Prozentzahl gewachsen. Wie viel ist es jetzt?
Es ist um einige Prozent reduziert geworden. Wie viel ist es jetzt?
Es ist auf eine bestimmte Prozentzahl reduziert worden. Wie viel ist es jetzt?
Du wirst lernen, “auf” von “um” zu unterscheiden.
Es ist um einen bestimmten Prozentwert gewachsen. Wie viel war es vorher?
Es ist auf einen bestimmte Prozentwert gewaschen. Wie viel war es vorher?
Es ist um einen bestimmten Prozentwert reduziert worden. Wie viel war es vorher?
Es ist auf einen bestimmten Prozentwert reduziert worden. Wie viel war es vorher?
Du wirst lernen, “auf” von “um” zu unterscheiden.
Prozentrechnen bedeutet, die Worte “auf” von “um” zu unterscheiden.
Wenn etwas auf 90% reduziert wurde, ist es um 10% reduziert worden. Wenn etwas auf 120% vergrößert wurde, ist es um 20% vergrößert worden.
weniger werden = reduziert werden = verkleinert werden = schrumpfen mehr werden = erhöht werden = vergrößert werden = ausdehnen
Mehr Einkommen! Vorher: 80€, nachher 100€. Auf wie viel Prozent ist es gewachsen?
Mehr Einkommen! Vorher: 300€, nachher 410€. Um wie viel Prozent ist es gewachsen?
Weniger Einkommen! Vorher 150€, nachher 120€. Auf wie viel Prozent ist es reduziert worden?
Weniger Einkommen! Vorher 1000€, nachher 900€. Um wie viel Prozent ist es reduziert worden?
Mehr Gewicht. Vorher 20 kg. Es ist um 10% gewachsen. Wie viel ist es jetzt?
Mehr Gewicht. Vorher 90 kg. Es ist auf 110% gewachsen. Wie viel ist es jetzt?
Weniger Gewicht. Vorher 40 kg. Es ist um 25% reduziert geworden. Wie viel ist es jetzt?
Weniger Gewicht. Vorher 200 kg. Es ist auf 75% reduziert worden. Wie viel ist es jetzt?
Die Geschwindigkeit ist jetzt 50 km/h. Sie ist um 12 Prozent gewachsen. Wie viel war sie vorher?
Die Geschwindigkeit ist jetzt 100 km/h. Sie ist auf 105% gewachsen. Wie viel war sie vorher?
Die Geschwindigkeit ist jetzt 150 km/h. Sie ist um 10% reduziert worden. Wie viel war sie vorher?
Die Geschwindigkeit ist jetzt 90 km/h. Sie ist auf 85% reduziert worden. Wie viel war sie vorher?
Um oder auf? Wenn uns das klar ist, wird Prozentrechnen einfacher.
Um oder auf? Vorher 100%. Nachher 120%. Um 20% auf 120% Um oder auf? Vorher 90%. Nachher 100%. Um 10% auf 100%
Lösung
Mehr Einkommen! Vorher: 80€, nachher 100€. Auf wie viel Prozent ist es gewachsen? 80•x=100 (wir bringen 80 auf die andere Seite durch Division) x=100/80=1,25 (das bedeutet 125%) Das Einkommen ist auf 125% gewachsen. (“Auf“: So viele Prozent sind es jetzt zusammen)
Mehr Einkommen! Vorher: 300€, nachher 410€. Um wie viel Prozent ist es gewachsen? 300•x=410 (wir bringen 300 auf die andere Seite durch Division) x= 410/300=1,37 (gerundet, das bedeutet 137%) Das Einkommen ist um 37% gewachsen. (“Um“: Das was es von 100% mehr wurde)
Weniger Einkommen! Vorher 150€, nachher 120€. Auf wie viel Prozent ist es reduziert worden? 150•x=120 x=120/150=0,80 Das Einkommen ist auf 80% reduziert worden.
Weniger Einkommen! Vorher 1000€, nachher 900€. Um wie viel Prozent ist es reduziert worden? 1000•x=900 x=900/1000=0,90 Das Einkommen ist um 10% reduziert worden. (“Um“: Der Unterschied zu 100%)
Mehr Gewicht. Vorher 20 kg. Es ist um 10% gewachsen. Wie viel ist es jetzt? 20•1,10=22 kg. (Es sind nun 110%, daher wird mit 1,10 multipliziert)
Vergößern bedeutet: Mit einem Wert größer als 1 zu multiplizieren.
Mehr Gewicht. Vorher 90 kg. Es ist auf 110% gewachsen. Wie viel ist es jetzt? 90•1,1=99 kg
Weniger Gewicht. Vorher 40 kg. Es ist um 25% reduziert geworden. Wie viel ist es jetzt? 40•0,75=30kg (Es hat nun 75%, daher wird mit 0,75 multipliziert)
Verkleinern bedeutet: Mit einem Wert zwischen 0 und 1 zu multiplizieren.
Weniger Gewicht. Vorher 200 kg. Es ist auf 75% reduziert worden. Wie viel ist es jetzt? 200•0,75=150kg
Die Geschwindigkeit ist jetzt 50 km/h. Sie ist um 12 Prozent gewachsen. Wie viel war sie vorher? x•1,12=50 (Wir bringen 1,12 durch Division auf die andere Seite) x=50/1,12 = rund 44,6 km/h
Die Geschwindigkeit ist jetzt 100 km/h. Sie ist auf 105% gewachsen. Wie viel war sie vorher? x•1,05=100 x= 100/1,05 = rund 95,2 km/h
Die Geschwindigkeit ist jetzt 150 km/h. Sie ist um 10% reduziert worden. Wie viel war sie vorher? x•0,9=150 x= 150/0,9 = rund 166,7 km/h
Die Geschwindigkeit ist jetzt 90 km/h. Sie ist auf 85% reduziert worden. Wie viel war sie vorher? x•0,85=90 x=90/0,85 = rund 105,9 km/h
Das Rechnen mit Prozenten funktioniert am besten, wenn du dir die Situation vorstellst. In Bildern.
Deine Aufgabe: Erstelle selbst neue Aufgaben 1 bis 12. Dann kannst du es wirklich.
Der Schnee – es schneit. Schnee ist gefrorenes Wasser. Wenn es schneit, fallen weiße Flocken vom Himmel. Sie heißen Schneeflocken. Es schneit, wenn es kalt ist. Alles wird weiß. Frischer Schnee ist weich. Er wird hart, wenn er älter ist. Der Schnee schmilzt, wenn es wieder warm wird.
Der Regen – es regnet: Regen ist Wasser. Wenn es regnet, fallen kleine Tropfen vom Himmel. Sie heißen Regentropfen. Es regnet, wenn es Wolken gibt. Alles wird nass. Regentropfen können kalt oder warm sein. Wenn es genug geregnet hat, hört es wieder auf. Dann kommt die Sonne.
Es nieselt – es regnet wenig. Die Regentropfen sind ganz klein und fein.
Die Sonne – sie scheint: Die Sonne schickt Licht und Wärme zur Erde. Sie schickt Sonnenstrahlen. Wenn diese Strahlen auf etwas leuchten, wird es hell. Die Sonne bewegt sich am Himmel. Sie geht am Morgen auf, am Abend unter. In der Nacht scheint die Sonne nicht.
Die Wolken – es überzieht sich: Ohne Wolken ist der Himmel blau. Wenn Wolken kommen, überzieht sich der Himmel. Es ist bewölkt. Wenn die Wolken wieder verschwinden, klart es auf. Wolken sind nicht durchsichtig. Sie können weiß, schwarz oder grau sein.
Es donnert – es gibt ein Gewitter: Dunkle Wolken sind am Himmel. Vielleicht regnet es. Es blitzt. Man sieht einen Blitz und hört danach einen Donner. Gewitter gibt es vor allem im Sommer, wenn es heiß ist. Ein Sommergewitter kündigt sich an. Bei einem Gewitter soll man ins Haus gehen.
Der Wind – es weht der Wind. Wind ist bewegte Luft. Luft ist unsichtbar. Wir spüren Luft, wenn sie sich bewegt. Es kann einen kalten Wind geben, oder einen warmen Wind. Es kann einen starken Wind geben, oder einen schwachen Wind. Ein schwacher Wind heißt Brise. Eine Windbrise.
Es dämmert – die Sonne geht auf oder unter. Die Morgendämmerung ist vor dem Sonnenaufgang. Es wird hell. Die Abenddämmerung ist nach dem Sonnenuntergang. Es wird dunkel. Wenn es finster ist, ist es dunkel. Wenn es ganz finster ist, ist es stockdunkel.
Es gibt Nebel – es ist nebelig. Im Herbst wird es kühl. Die Sonne ist verschwunden. Über den Feldern und Wiesen entsteht ein weißer Dampf. Er heißt Nebel. Nebel ist feucht und kühl. Auch London ist berühmt für seine Nebel an der Themse. Man kann sich im Nebel verstecken.
Jemand hat Pech und kommt mit seinem Auto von der Straße ab. Er rutscht damit in einen See. Das Auto schwimmt zuerst eine Weile. Dann sinkt es langsam, während der Wasserspiegel im Inneren des Autos steigt. Zeichnen Sie die einzelnen Phasen des Zwischenfalls und diskutieren Sie die folgenden Fragen:
1) Warum sinkt das Auto? 2) Kann der Fahrer die Tür öffnen, um sich zu befreien? 3) Braucht er dazu eine Kraft, die größer ist, als ein Mensch sie aufbringen kann? 4) Was unterscheidet diese Situation von jener, wenn er an Land die Tür öffnet? 5) Wie soll er sich in dieser Situation richtig verhalten?
Unordnung wird physikalisch mit Entropie bezeichnet. Es ist ein Trend in der Natur, dass die Entropie in einem System immer größer wird. Das erleben wir auch daheim: alle Dinge in unserem Zimmer werden sich gleichmäßig “unordentlich” verteilen. Ein zweiter Trend der Natur ist ihr Wunsch nach geringster Energie: die Unordnung wird am Fußboden entstehen.
Achtung: Entropie als Unordnung zu bezeichnen, ist stark vereinfacht. Besser wäre vielleicht “maximale Verteilung”. Beim Studium von Chemie und Physik lernen Sie genauere Definitionen im Bereich der Thermodynamik kennen. Wir werden hier trotzdem mit der “Unordnung” arbeiten, und vielleicht besser mit Entropie als “Informationsverlust”.
Forschungsfragen sind Fragen an die Natur und Umgebung, die Sie selbst beantworten könne. “Wie”-Fragen funktionieren immer, “warum”-Fragen nie. Sie werden schnell bemerken, dass Sie ihre erstgewählte Frage rasch anpassen werden. Warum?
Die meisten Tiere mit Fell schütteln sich einmal kräftig durch, nachdem sie eine Runde geschwommen sind. Das ist keine nette Angewohnheit sondern eine Frage des Überlebens. Warum müssen sich Hunde schütteln, nachdem sie nass geworden sind?
Wer die Frage zum ersten Mal hört, geht nach seinem Bauchgefühl und würde sie so beantworten:”Natürlich schmilzt das Eis in Wolle schneller.” Aber warum glauben wir das? Für gewöhnlich hält uns Wolle warm. Warum sollte es also beim Eis anders sein?
Wasser verdunstet bei jeder Temperatur, auf jeder Höhe. Es entsteht Wasserdampf. Ab einer bestimmten Temperatur, auf einer bestimmten Höhe ist der Luftdruck der Umgebung gleich dem Luftdruck in den Dampfbläschen in der Flüssigkeit. Es blubbert. Man sagt, das Wasser siedet. Je geringer der Luftdruck ist, desto niedriger ist die Siedetemperatur. Auf der Spitze des Mt. Everest ist der Luftdruck so gering, dass das Wasser bereits bei 70 Grad Celsius siedet.
Wenn dem nicht so wäre, dann hätte sich die Welt wohl ganz und gar anders entwickelt. Die Möglichkeit mit einem gedrehten Holzstab und Zunder selbstständig Feuer zu machen war einer der Schlüsselpunkte in der menschlichen Entwicklung. Reibung macht warm, weil Arbeit in Wärmeenergie umgewandelt wird. Das sagt der zweite Hauptsatz der Wärmelehre: “Die innere Energie eines Körpers kann durch Zufuhr von Arbeit und durch Zufuhr von Wärme erhöht werden.”
Die Hauptsätze der Wärmelehre beschäftigen sich einerseits mit einem Temperaturphänomen: der absolute Nullpunkt kann nicht erreicht werden. Andererseits beschäftigen sie sich mit einem bekannten Übertragungsphänomen: Wärme fließt von selbst nur von einem heißen zu einem kalten Körper.
Ein Elektromotor beruht auf folgendem Prinzip: Ein elektrisches Kabel führt durch einen Magneten. Sobald Strom fließt, reagiert die Natur mit einer Kraft: der Lorentzkraft. Sie ist die Kraft auf eine Ladung, die sich in einem Magnetfeld befindet. Der Elektromotor ist eine geschickt gebaute Anordnung, die dieses Prinzip ausnützt, um einen Rotor in Drehung zu versetzen.
Elektrische Spannung entsteht, wenn Ladungen getrennt vorliegen. Auf der einen Seite positive Ladungen +++ und auf der andern Seite negative Ladunngen – – –
Elektrischer Strom entsteht dann, wenn es Spannung gibt. Und wenn sich die elektrischen Ladungen ausgleichen können, weil es einen elektrischen Leiter gibt. Elektrischer Strom ist das Fließen von elektrisch geladenen Teilchen.
Der elektrische Widerstand bestimmt, wie viel Strom bei gegebener Spannung fließen kann.
Die Effekte der Quantenphysik treten in der Welt der kleinsten Teilchen auf, auf atomarem Niveau und darunter. Erst Anwendungen wie Laser, Elektronenmikroskopie oder Supraleitung machen quanten-mechanische Effekte in unserer Welt erfahrbar.
Die Formel E=mc^2 ist wohl die bekannteste Formel der Physik. Sie beschreibt die Energie-Masse-Äquivalenz. Die Gleichung sagt, dass Masse und Energie ineinander umgewandelt werden können. Durch den hohen Wert der Lichtgeschwindigkeit c werden schon bei der Umwandlung geringer Massen enorme Energiemengen frei. Das bedeuted also, dass Masse eigentlich nichts anderes ist als auch eine Form von Energie, wenn auch in anderer Form.
Es geht bei der Relativitätstheorie im Wesentlichen um das Erleben zweier Objekte, die sich relativ zueinander bewegen, daher der Name: Relativitätstheorie. Die Effekte der Relativitätstheorie treten erst bei hohen Geschwindigkeiten auf, bei Geschwindigkeiten, die mit der Lichtgeschwindigkeit vergleichbar sind: Die Zeit verlängert sich, Maßstäbe verkürzen sich und die Masse des bewegten Objektes nimmt zu. Dies wird in der “speziellen Relativitätstheorie” beschrieben. Die zweite Möglichkeit: sie treten in der Anwesenheit großer Massen auf. Dies wird in der “allgemeinen Relativitätstheorie” beschrieben.
Die Effekte der Quantenphysik treten in der Welt der kleinsten Teilchen auf, auf atomarem Niveau und darunter. Erst Anwendungen wie Laser, Elektronenmikroskopie oder Supraleitung machen quanten-mechanische Effekte in unserer Welt erfahrbar.
Die Formel E=mc^2 ist wohl die bekannteste Formel der Physik. Sie beschreibt die Energie-Masse-Äquivalenz. Die Gleichung sagt, dass Masse und Energie ineinander umgewandelt werden können. Durch den hohen Wert der Lichtgeschwindigkeit c werden schon bei der Umwandlung geringer Massen enorme Energiemengen frei. Das bedeuted also, dass Masse eigentlich nichts anderes ist als auch eine Form von Energie, wenn auch in anderer Form.
