Wenn du Wasser mit einem Schlauch möglichst weit spritzen willst: Gerade nach oben ist schlecht. Ganz waagrecht auch. In welchem Winkel wirft oder spritzt man am weitesten?
Im Idealfall wirft man am weitesten bei 45°. Das gilt, wenn Start- und Landepunkt gleich hoch sind und wenn man Luftwiderstand ignoriert.
Im Alltag weicht man oft von 45° ab: Wind, Luftreibung und die Form des Gegenstands ändern die beste Flugbahn.
Wikipedia: Wurfparabel | Schiefer Wurf | Projektilbewegung | Superpositionsprinzip | Luftwiderstand
Begriffe: Abwurfwinkel, Abwurfgeschwindigkeit, Wurfweite, Wurfparabel, waagrecht, senkrecht, Superposition, Erdbeschleunigung, Luftwiderstand, Wind
Hintergrund
Ein Wurf ist eine zusammengesetzte Bewegung. Man kann ihn in zwei Teilbewegungen zerlegen: eine nach vorne und eine nach oben (oder unten). Das nennt man Superposition.
1) Waagrechte Bewegung: Nach dem Abwurf bewegt sich der Körper nach vorne. Ohne Luftwiderstand bleibt diese Geschwindigkeit gleich. Mit Luftwiderstand wird er langsam.
2) Senkrechte Bewegung: Der Körper wird nach oben geworfen, aber die Schwerkraft bremst ihn. Irgendwann ist die Geschwindigkeit nach oben null und dann fällt er wieder nach unten.
Wenn man beide Teilbewegungen zusammensetzt, entsteht die typische parabelförmige Flugbahn: die Wurfparabel.
Drei Kernpunkte
- Warum nicht senkrecht? Dann kommt man zwar hoch, aber kaum weit nach vorne.
- Warum nicht waagrecht? Dann bleibt man lange niedrig und landet schnell am Boden.
- Warum 45°? Weil man dann „gut nach vorne“ und „gut nach oben“ kombiniert – im Idealfall genau optimal.
Eine Formel (Idealfall)
Im Idealfall (ohne Luftwiderstand, gleiche Höhe) kann man die Wurfweite berechnen:
Dabei ist R die Wurfweite, v die Abwurfgeschwindigkeit, g die Erdbeschleunigung (ca. 9,81 m/s²) und θ der Abwurfwinkel.
Der Ausdruck sin(2θ) beschreibt, wie günstig der Abwurfwinkel ist. Er kombiniert den Anteil „nach oben“ und „nach vorne“.
Spezialfall: maximale Wurfweite
Die Wurfweite ist dann am größten, wenn sin(2θ) = 1 ist. Das ist bei einem Abwurfwinkel von θ = 45° der Fall.
Diese vereinfachte Formel gilt nur für den optimalen Abwurfwinkel von 45° und nur im Idealfall.
Rechnungen
1) Welche Winkel haben dieselbe Wurfweite (Idealfall)?
In der Formel steht sin(2θ). Für viele Winkelpaare gilt: sin(2θ) = sin(180° − 2θ). Das bedeutet: θ und 90° − θ haben die gleiche Wurfweite. Beispiel: 30° und 60° sind gleich weit (im Idealfall).
2) Beispielrechnung: Wurfweite bei 45° (ohne Luftwiderstand)
Nehmen wir v = 20 m/s und g = 9,81 m/s². Bei 45° ist sin(90°) = 1.
Lösung: Etwa 41 m (im Idealfall).
3) Warum ist 45° mit Luftwiderstand oft nicht mehr optimal?
Luftwiderstand bremst besonders stark, wenn der Gegenstand schnell ist. Bei großen Winkeln bleibt er länger in der Luft und verliert länger Geschwindigkeit. Darum liegt der beste Winkel in der Praxis oft unter 45°. Bei Rückenwind oder wenn das Ziel höher liegt, kann er aber auch über 45° liegen.
Immer noch interessiert?
- Wie sieht die Flugbahn aus, wenn Luftwiderstand sehr groß ist?
- Warum fliegt ein Ball mit Drall (Spin) manchmal „komisch“?
Wichtige Wörter: Wurfweite, Abwurfwinkel, Abwurfgeschwindigkeit, waagrecht, senkrecht, Schwerkraft, Erdbeschleunigung, Superposition, Wurfparabel, Luftwiderstand, optimal