Kapitel 04 – Die Zahlenarten – Physikalische Soiree

Wieviel ist –50 • –2?

Lösung

+100 oder einfach 100

Wieviel ist 50 / (–2)?

Lösung

–25

Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?

Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Ein wunderbares Buch mit tollen Geschichten. So macht Mathe Spaß. Simon Singh ist ein Schriftsteller, der sich wirklich gut auskennt. Er nimmt uns auf die abenteuerliche Suche nach einem mathematischen Beweis mit.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?

Lösung

+13° Celsius

Wieviel ist –50 • –2?

Lösung

+100 oder einfach 100

Wieviel ist 50 / (–2)?

Lösung

–25

Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?

Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?

Lösung

–8° Celsius

Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?

Lösung

+13° Celsius

Wieviel ist –50 • –2?

Lösung

+100 oder einfach 100

Wieviel ist 50 / (–2)?

Lösung

–25

Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?

Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?

Lösung

–400 €

Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?

Lösung

–8° Celsius

Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?

Lösung

+13° Celsius

Wieviel ist –50 • –2?

Lösung

+100 oder einfach 100

Wieviel ist 50 / (–2)?

Lösung

–25

Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?

Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Der Kontostand beträgt –200 €. Es kommen 500 € dazu. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

+300 € oder einfach 300 €
Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

–400 €
Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?
Lösung

–8° Celsius
Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?
Lösung

+13° Celsius
Wieviel ist –50 • –2?
Lösung

+100 oder einfach 100
Wieviel ist 50 / (–2)?
Lösung

–25
Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?
Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Der Kontostand beträgt –200 €. Es kommen 500 € dazu. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

+300 € oder einfach 300 €
Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

–400 €
Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?
Lösung

–8° Celsius
Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?
Lösung

+13° Celsius
Wieviel ist –50 • –2?
Lösung

+100 oder einfach 100
Wieviel ist 50 / (–2)?
Lösung

–25
Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?
Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Mit Zahlen beginnt die Reise in die Welt der Mathematik. Wer Zahlen unterscheiden kann, bestimmt, wohin die Reise geht.

Wörter 1

das Alter, zählen, immer, etwas, verwenden, die Verwendung, einfach/einfacher/am einfachsten, natürlich, die Anzahl, das Mögliche, zählen, das Gezählte, das Komma, halb, sortieren, die Größe, wieder, die Vermutung, richtig, falsch, erinnern, die Erinnerung, die Temperatur, unter, kälter, das Thermometer, zeigen, die Lösung, das Problem, die Null, die Geschichte

Mit natürlichen Zahlen können Sie das Alter von Menschen angeben.
Mit natürlichen Zahlen können Sie die Anzahl Ihrer Freunde angeben.
Mit natürlichen Zahlen können Sie alles Mögliche zählen.
Natürliche Zahlen haben kein Komma. Es gibt keine halben natürlichen Zahlen.

Beobachtungen

Wir können die natürlichen Zahlen der Größe nach sortieren: 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 < 7 < 8 < 9 < …
Wenn wir natürliche Zahlen addieren, dann erhalten wir wieder eine natürliche Zahl: 13 + 6 = 19
Wenn wir natürliche Zahlen multiplizieren, dann erhalten wir wieder eine natürliche Zahl: 2 • 9 = 18

Vermutung

Wenn wir natürliche Zahlen subtrahieren, erhalten wir wieder eine natürliche Zahl?
17 – 6 = 11 … die Vermutung ist richtig.

10 – 13 = ? … die Vermutung ist falsch. Es gibt keine natürlichen Zahlen unter 0.

Wir erinnern uns

Es gibt eine Temperatur unter 0. Es hat 10 Grad, und es wird um 13° kälter. Das Thermometer zeigt die Lösungen des Problems: Es hat –3°.

Die Null wird erst seit kurzem zu den natürlichen Zahlen gezählt. Möchten Sie wissen, wie die Null zu den natürlichen Zahlen gekommen ist? Diese Geschichte können Sie hier lesen.

3. Die Ganzen Zahlen

Es gibt Temperaturen unter Null: Diese Temperaturwerte haben ein – als Vorzeichen.

Beispiel:

10-3=-3

Wir sagen: –3 hat ein negatives Vorzeichen. –3 ist eine negative Zahl.

Wörter 3

kombinieren, die Kombination, der Strich, der Bruchstrich, die Bruchzahl, oben, zählen, der Zähler, unten, nennen, der Nenner, das Zeichen, die Division, das Divisionszeichen, meist, die Menge, positiv, negativ, sortieren, die Größe, gleichzeitig, lernen, später, der Fall, das Spezielle, der Spezialfall, irrational, irrationale Zahlen, reell, reelle Zahlen, darstellen, darstellbar, die Darstellung

Wir kombinieren eine ganze Zahl und eine natürliche Zahl mit einem Bruchstrich zu einer Bruchzahl.

Beispiele für Bruchzahlen:

\frac{3}{4},\ \frac{-6}{3},\ \frac{8}{10}

Die Zahl oben wird Zähler bezeichnet. Sie kann + positiv oder – negativ sein. Eine ganze Zahl.

Die Zahl unten wird Nenner bezeichnet. Sie gibt die Art des Bruches an und ist immer + positiv. Eine natürliche Zahl.

Ein Bruchstrich ist immer auch ein Divisionszeichen. Sie können jederzeit 3 : 4 berechnen und erhalten meist eine Dezimalzahl – eine Zahl mit Komma. Dezimalzahlen sind Bruchzahlen.

Wir schreiben die Menge aller Bruchzahlen auch so auf:

\mathbb{Q}=\left\{\frac{m}{n}\right\}

m … ganze Zahl (da kann schon mal ein – dabei sein)
n … natürliche Zahl (immer positiv)

Wir lernen in einem späteren Kapitel, mit Bruchzahlen richtig zu rechnen.

Beobachtungen

Bruchzahlen sortieren

\frac{3}{4},\ \frac{-6}{3},\ \frac{8}{10}

Was ist größer, was ist kleiner? Wir können Bruchzahlen nicht sofort nach ihrer Größe sortieren. Wir müssen die Brüche zuerst zu Dezimalzahlen machen, indem wir sie dividieren. Diese Dezimalzahlen können wir der Größe nach ordnen.

\frac{3}{4}=0{,}75\quad\text{und}\quad\frac{-6}{3}=-2\quad\text{und}\quad\frac{8}{10}=0{,}8

–2 < 0,75 < 0,8

Daher:

\frac{-6}{3} < \frac{3}{4} < \frac{8}{10}

Bruchzahlen addieren

Wenn wir Bruchzahlen addieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=\frac{6}{4}

Bruchzahlen subtrahieren

Wenn wir Bruchzahlen subtrahieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}-\frac{5}{4}=\frac{-2}{4}

Bruchzahlen multiplizieren

Wenn wir Bruchzahlen multiplizieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{16}

Bruchzahlen dividieren

Wenn wir Bruchzahlen dividieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{5}{3}:\frac{2}{7}=\frac{5}{3}\cdot\frac{7}{2}=\frac{35}{6}

Wir lernen das im Detail noch später.

Alle natürlichen Zahlen und alle ganzen Zahlen sind gleichzeitig Bruchzahlen. Ihr Nenner ist 1.

Beispiele

3=\frac{3}{1}\\-4=\frac{-4}{1}

Zusammenfassung

Mit den Bruchzahlen kennen wir nun auch die Dezimalzahlen. Dezimalzahlen sind Bruchzahlen. Wir brauchen dazu nur die Brüche zu dividieren.

Wir kennen nun fast alle „Zahlen unseres Lebens“.

Wir werden später lernen, dass es auch Dezimalzahlen gibt, die wir nicht aus der Division einer Bruchzahl erhalten. Sie heißen irrationale Zahlen, abgekürzt: $\mathbb{I}$ . Zum Beispiel $\sqrt{2}$ oder $\pi$ .

All das lernen wir noch etwas später. Diese Spezialfälle bilden mit den Bruch-Dezimalzahlen gemeinsam die Menge der reellen Zahlen. Das sind alle für uns denkbaren Zahlen, mit denen wir üblicherweise arbeiten. Wir kürzen diese Zahlenmenge mit $\mathbb{R}$ ab.

Alle natürlichen Zahlen sind auch ganze Zahlen, diese sind auch Bruchzahlen, und diese sind auch reelle Zahlen. Wir schreiben:

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}

$\mathbb{N}$ … Natürliche Zahlen (ohne Komma, + positiv)
Beispiele: 8, 20, 33, 100, 221

$\mathbb{Z}$ … Ganze Zahlen (ohne Komma, + positiv und – negativ)
Beispiele: –12, –5, 0, 7, 150

$\mathbb{Q}$ … Bruchzahlen (rationale Zahlen) (+ positiv und – negativ; $\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}$ ; Dezimalzahlen)
Beispiele: $\frac{4}{5}=0{,}8$ , $\frac{-10}{5}=-2$ , $21=\frac{21}{1}$

$\mathbb{I}$ … Irrationale Zahlen (nicht durch Bruch darstellbar, aber Dezimalzahlen)
Beispiele: $\sqrt{2}$ , $\sqrt{5}$ , $\pi$

$\mathbb{R}$ … Reelle Zahlen („Alle unsere Zahlen“)
Beispiele: –23,15, –3, 0, 4/3, $\sqrt{3}$ , 5

Aufgaben

Zu welchen Zahlenmengen gehören die folgenden Zahlen?

1
Lösung

1 ist eine natürliche Zahl, eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
0
Lösung

0 ist eine natürliche Zahl, eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
−3
Lösung

−3 ist eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\frac{8}{5}$

Lösung

$\frac{8}{5}$ ist eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$-\frac{3}{4}$

Lösung

$-\frac{3}{4}$ ist eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\sqrt{5}$

Lösung

$\sqrt{5}$ ist eine irrationale Zahl und eine reelle Zahl.
20,55
Lösung

20,55 ist eine Dezimalzahl und somit eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$-\frac{9}{3}$

Lösung

$-\frac{9}{3}$ ist eine ganze Zahl und eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\frac{20}{10}$

Lösung

$\frac{20}{10}$ ist eine natürliche Zahl und eine ganze Zahl und eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.

5. Größer, kleiner oder gleich?

Setzen Sie das Größer- oder Kleinerzeichen richtig ein. Die Öffnung ist immer bei der großen Seite.

Wörter 5

rechnen, + plus, – minus, der Taschenrechner, gut/besser/am besten, das Ergebnis, die Ordnung, ohne, verstehen, das Verständnis, nachdenken, überlegen, das Bild, das Thermometer, zeichnen, das Beispiel, gleich, ungleich, das Zeichen, das Vorzeichen

Addition und Subtraktion

Nachdenken und mit einem Bild vom Thermometer überlegen.

Beispiel: 10 – 13 = –3
Beispiel: –5 + 10 = +5
Beispiel: –5 – 10 = –15

Übung

Zeichnen Sie ein Bild von einem Thermometer zum 2. und 3. Beispiel.

Multiplikation und Division

Gleiche Vorzeichen ergeben +
Ungleiche Vorzeichen ergeben –

+ • + = +
– • – = +
+ • – = –
– • + = –

Beispiel: –5 • 10 = –50
Beispiel: –5 • (–10) = +50

+ / + = +
– / – = +
+ / – = –
– / + = –

Beispiel: –10 / 5 = –2
Beispiel: –10 / (–5) = +2

Hinweise

Statt +2 schreiben wir auch einfach 2.
Statt 5 • –2 schreiben wir lieber 5 • (–2).
+ kann ein Rechenzeichen für die Addition sein oder ein Vorzeichen.
5 + 3 = (Rechenzeichen für die Addition)
+3 = (Vorzeichen für die Zahl 3)
– kann ein Rechenzeichen für die Subtraktion sein oder ein Vorzeichen.
5 – 3 = (Rechenzeichen für die Subtraktion)
–3 = (Vorzeichen für die Zahl Minus Drei)

Übungen

Wörter 7

das Konto, der Kontostand, dazu kommen, hoch, einfach, die Temperatur, betragen, °Celsius (Grad Celsius), kalt/kälter/am kältesten, warm/wärmer/am wärmsten, heben, beheben, das Stück, der Schein

Der Kontostand beträgt –200 €. Es kommen 500 € dazu. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

+300 € oder einfach 300 €
Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

–400 €
Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?
Lösung

–8° Celsius
Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?
Lösung

+13° Celsius
Wieviel ist –50 • –2?
Lösung

+100 oder einfach 100
Wieviel ist 50 / (–2)?
Lösung

–25
Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?
Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?

Lösung

+13° Celsius

Wieviel ist –50 • –2?

Lösung

+100 oder einfach 100

Wieviel ist 50 / (–2)?

Lösung

–25

Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?

Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Mit Zahlen beginnt die Reise in die Welt der Mathematik. Wer Zahlen unterscheiden kann, bestimmt, wohin die Reise geht.

Wörter 1

Mit natürlichen Zahlen können Sie das Alter von Menschen angeben.
Mit natürlichen Zahlen können Sie die Anzahl Ihrer Freunde angeben.
Mit natürlichen Zahlen können Sie alles Mögliche zählen.
Natürliche Zahlen haben kein Komma. Es gibt keine halben natürlichen Zahlen.

Beobachtungen

Wir können die natürlichen Zahlen der Größe nach sortieren: 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 < 7 < 8 < 9 < …
Wenn wir natürliche Zahlen addieren, dann erhalten wir wieder eine natürliche Zahl: 13 + 6 = 19
Wenn wir natürliche Zahlen multiplizieren, dann erhalten wir wieder eine natürliche Zahl: 2 • 9 = 18

Vermutung

Wenn wir natürliche Zahlen subtrahieren, erhalten wir wieder eine natürliche Zahl?
17 – 6 = 11 … die Vermutung ist richtig.

10 – 13 = ? … die Vermutung ist falsch. Es gibt keine natürlichen Zahlen unter 0.

Wir erinnern uns

Es gibt eine Temperatur unter 0. Es hat 10 Grad, und es wird um 13° kälter. Das Thermometer zeigt die Lösungen des Problems: Es hat –3°.

Die Null wird erst seit kurzem zu den natürlichen Zahlen gezählt. Möchten Sie wissen, wie die Null zu den natürlichen Zahlen gekommen ist? Diese Geschichte können Sie hier lesen.

3. Die Ganzen Zahlen

Es gibt Temperaturen unter Null: Diese Temperaturwerte haben ein – als Vorzeichen.

Beispiel:

10-3=-3

Wir sagen: –3 hat ein negatives Vorzeichen. –3 ist eine negative Zahl.

Wörter 3

Wir kombinieren eine ganze Zahl und eine natürliche Zahl mit einem Bruchstrich zu einer Bruchzahl.

Beispiele für Bruchzahlen:

\frac{3}{4},\ \frac{-6}{3},\ \frac{8}{10}

Die Zahl oben wird Zähler bezeichnet. Sie kann + positiv oder – negativ sein. Eine ganze Zahl.

Die Zahl unten wird Nenner bezeichnet. Sie gibt die Art des Bruches an und ist immer + positiv. Eine natürliche Zahl.

Ein Bruchstrich ist immer auch ein Divisionszeichen. Sie können jederzeit 3 : 4 berechnen und erhalten meist eine Dezimalzahl – eine Zahl mit Komma. Dezimalzahlen sind Bruchzahlen.

Wir schreiben die Menge aller Bruchzahlen auch so auf:

\mathbb{Q}=\left\{\frac{m}{n}\right\}

m … ganze Zahl (da kann schon mal ein – dabei sein)
n … natürliche Zahl (immer positiv)

Wir lernen in einem späteren Kapitel, mit Bruchzahlen richtig zu rechnen.

Beobachtungen

Bruchzahlen sortieren

\frac{3}{4},\ \frac{-6}{3},\ \frac{8}{10}

\frac{3}{4}=0{,}75\quad\text{und}\quad\frac{-6}{3}=-2\quad\text{und}\quad\frac{8}{10}=0{,}8

–2 < 0,75 < 0,8

Daher:

\frac{-6}{3} < \frac{3}{4} < \frac{8}{10}

Bruchzahlen addieren

Wenn wir Bruchzahlen addieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=\frac{6}{4}

Bruchzahlen subtrahieren

Wenn wir Bruchzahlen subtrahieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}-\frac{5}{4}=\frac{-2}{4}

Bruchzahlen multiplizieren

Wenn wir Bruchzahlen multiplizieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{16}

Bruchzahlen dividieren

Wenn wir Bruchzahlen dividieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{5}{3}:\frac{2}{7}=\frac{5}{3}\cdot\frac{7}{2}=\frac{35}{6}

Wir lernen das im Detail noch später.

Alle natürlichen Zahlen und alle ganzen Zahlen sind gleichzeitig Bruchzahlen. Ihr Nenner ist 1.

Beispiele

3=\frac{3}{1}\\-4=\frac{-4}{1}

Zusammenfassung

Mit den Bruchzahlen kennen wir nun auch die Dezimalzahlen. Dezimalzahlen sind Bruchzahlen. Wir brauchen dazu nur die Brüche zu dividieren.

Wir kennen nun fast alle „Zahlen unseres Lebens“.

Alle natürlichen Zahlen sind auch ganze Zahlen, diese sind auch Bruchzahlen, und diese sind auch reelle Zahlen. Wir schreiben:

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}

$\mathbb{N}$ … Natürliche Zahlen (ohne Komma, + positiv)
Beispiele: 8, 20, 33, 100, 221

$\mathbb{Z}$ … Ganze Zahlen (ohne Komma, + positiv und – negativ)
Beispiele: –12, –5, 0, 7, 150

$\mathbb{I}$ … Irrationale Zahlen (nicht durch Bruch darstellbar, aber Dezimalzahlen)
Beispiele: $\sqrt{2}$ , $\sqrt{5}$ , $\pi$

$\mathbb{R}$ … Reelle Zahlen („Alle unsere Zahlen“)
Beispiele: –23,15, –3, 0, 4/3, $\sqrt{3}$ , 5

Aufgaben

Zu welchen Zahlenmengen gehören die folgenden Zahlen?

1
Lösung

1 ist eine natürliche Zahl, eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
0
Lösung

0 ist eine natürliche Zahl, eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
−3
Lösung

−3 ist eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\frac{8}{5}$

Lösung

$\frac{8}{5}$ ist eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$-\frac{3}{4}$

Lösung

$-\frac{3}{4}$ ist eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\sqrt{5}$

Lösung

$\sqrt{5}$ ist eine irrationale Zahl und eine reelle Zahl.
20,55
Lösung

20,55 ist eine Dezimalzahl und somit eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$-\frac{9}{3}$

Lösung

$-\frac{9}{3}$ ist eine ganze Zahl und eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\frac{20}{10}$

Lösung

$\frac{20}{10}$ ist eine natürliche Zahl und eine ganze Zahl und eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.

5. Größer, kleiner oder gleich?

Setzen Sie das Größer- oder Kleinerzeichen richtig ein. Die Öffnung ist immer bei der großen Seite.

Wörter 5

Addition und Subtraktion

Nachdenken und mit einem Bild vom Thermometer überlegen.

Beispiel: 10 – 13 = –3
Beispiel: –5 + 10 = +5
Beispiel: –5 – 10 = –15

Übung

Zeichnen Sie ein Bild von einem Thermometer zum 2. und 3. Beispiel.

Multiplikation und Division

Gleiche Vorzeichen ergeben +
Ungleiche Vorzeichen ergeben –

+ • + = +
– • – = +
+ • – = –
– • + = –

Beispiel: –5 • 10 = –50
Beispiel: –5 • (–10) = +50

+ / + = +
– / – = +
+ / – = –
– / + = –

Beispiel: –10 / 5 = –2
Beispiel: –10 / (–5) = +2

Hinweise

Statt +2 schreiben wir auch einfach 2.
Statt 5 • –2 schreiben wir lieber 5 • (–2).
+ kann ein Rechenzeichen für die Addition sein oder ein Vorzeichen.
5 + 3 = (Rechenzeichen für die Addition)
+3 = (Vorzeichen für die Zahl 3)
– kann ein Rechenzeichen für die Subtraktion sein oder ein Vorzeichen.
5 – 3 = (Rechenzeichen für die Subtraktion)
–3 = (Vorzeichen für die Zahl Minus Drei)

Übungen

Wörter 7

Der Kontostand beträgt –200 €. Es kommen 500 € dazu. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

+300 € oder einfach 300 €
Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

–400 €
Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?
Lösung

–8° Celsius
Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?
Lösung

+13° Celsius
Wieviel ist –50 • –2?
Lösung

+100 oder einfach 100
Wieviel ist 50 / (–2)?
Lösung

–25
Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?
Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?

Lösung

–8° Celsius

Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?

Lösung

+13° Celsius

Wieviel ist –50 • –2?

Lösung

+100 oder einfach 100

Wieviel ist 50 / (–2)?

Lösung

–25

Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?

Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Mit Zahlen beginnt die Reise in die Welt der Mathematik. Wer Zahlen unterscheiden kann, bestimmt, wohin die Reise geht.

Wörter 1

Mit natürlichen Zahlen können Sie das Alter von Menschen angeben.
Mit natürlichen Zahlen können Sie die Anzahl Ihrer Freunde angeben.
Mit natürlichen Zahlen können Sie alles Mögliche zählen.
Natürliche Zahlen haben kein Komma. Es gibt keine halben natürlichen Zahlen.

Beobachtungen

Wir können die natürlichen Zahlen der Größe nach sortieren: 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 < 7 < 8 < 9 < …
Wenn wir natürliche Zahlen addieren, dann erhalten wir wieder eine natürliche Zahl: 13 + 6 = 19
Wenn wir natürliche Zahlen multiplizieren, dann erhalten wir wieder eine natürliche Zahl: 2 • 9 = 18

Vermutung

Wenn wir natürliche Zahlen subtrahieren, erhalten wir wieder eine natürliche Zahl?
17 – 6 = 11 … die Vermutung ist richtig.

10 – 13 = ? … die Vermutung ist falsch. Es gibt keine natürlichen Zahlen unter 0.

Wir erinnern uns

Es gibt eine Temperatur unter 0. Es hat 10 Grad, und es wird um 13° kälter. Das Thermometer zeigt die Lösungen des Problems: Es hat –3°.

Die Null wird erst seit kurzem zu den natürlichen Zahlen gezählt. Möchten Sie wissen, wie die Null zu den natürlichen Zahlen gekommen ist? Diese Geschichte können Sie hier lesen.

3. Die Ganzen Zahlen

Es gibt Temperaturen unter Null: Diese Temperaturwerte haben ein – als Vorzeichen.

Beispiel:

10-3=-3

Wir sagen: –3 hat ein negatives Vorzeichen. –3 ist eine negative Zahl.

Wörter 3

Wir kombinieren eine ganze Zahl und eine natürliche Zahl mit einem Bruchstrich zu einer Bruchzahl.

Beispiele für Bruchzahlen:

\frac{3}{4},\ \frac{-6}{3},\ \frac{8}{10}

Die Zahl oben wird Zähler bezeichnet. Sie kann + positiv oder – negativ sein. Eine ganze Zahl.

Die Zahl unten wird Nenner bezeichnet. Sie gibt die Art des Bruches an und ist immer + positiv. Eine natürliche Zahl.

Ein Bruchstrich ist immer auch ein Divisionszeichen. Sie können jederzeit 3 : 4 berechnen und erhalten meist eine Dezimalzahl – eine Zahl mit Komma. Dezimalzahlen sind Bruchzahlen.

Wir schreiben die Menge aller Bruchzahlen auch so auf:

\mathbb{Q}=\left\{\frac{m}{n}\right\}

m … ganze Zahl (da kann schon mal ein – dabei sein)
n … natürliche Zahl (immer positiv)

Wir lernen in einem späteren Kapitel, mit Bruchzahlen richtig zu rechnen.

Beobachtungen

Bruchzahlen sortieren

\frac{3}{4},\ \frac{-6}{3},\ \frac{8}{10}

\frac{3}{4}=0{,}75\quad\text{und}\quad\frac{-6}{3}=-2\quad\text{und}\quad\frac{8}{10}=0{,}8

–2 < 0,75 < 0,8

Daher:

\frac{-6}{3} < \frac{3}{4} < \frac{8}{10}

Bruchzahlen addieren

Wenn wir Bruchzahlen addieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=\frac{6}{4}

Bruchzahlen subtrahieren

Wenn wir Bruchzahlen subtrahieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}-\frac{5}{4}=\frac{-2}{4}

Bruchzahlen multiplizieren

Wenn wir Bruchzahlen multiplizieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{16}

Bruchzahlen dividieren

Wenn wir Bruchzahlen dividieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{5}{3}:\frac{2}{7}=\frac{5}{3}\cdot\frac{7}{2}=\frac{35}{6}

Wir lernen das im Detail noch später.

Alle natürlichen Zahlen und alle ganzen Zahlen sind gleichzeitig Bruchzahlen. Ihr Nenner ist 1.

Beispiele

3=\frac{3}{1}\\-4=\frac{-4}{1}

Zusammenfassung

Mit den Bruchzahlen kennen wir nun auch die Dezimalzahlen. Dezimalzahlen sind Bruchzahlen. Wir brauchen dazu nur die Brüche zu dividieren.

Wir kennen nun fast alle „Zahlen unseres Lebens“.

Alle natürlichen Zahlen sind auch ganze Zahlen, diese sind auch Bruchzahlen, und diese sind auch reelle Zahlen. Wir schreiben:

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}

$\mathbb{N}$ … Natürliche Zahlen (ohne Komma, + positiv)
Beispiele: 8, 20, 33, 100, 221

$\mathbb{Z}$ … Ganze Zahlen (ohne Komma, + positiv und – negativ)
Beispiele: –12, –5, 0, 7, 150

$\mathbb{I}$ … Irrationale Zahlen (nicht durch Bruch darstellbar, aber Dezimalzahlen)
Beispiele: $\sqrt{2}$ , $\sqrt{5}$ , $\pi$

$\mathbb{R}$ … Reelle Zahlen („Alle unsere Zahlen“)
Beispiele: –23,15, –3, 0, 4/3, $\sqrt{3}$ , 5

Aufgaben

Zu welchen Zahlenmengen gehören die folgenden Zahlen?

1
Lösung

1 ist eine natürliche Zahl, eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
0
Lösung

0 ist eine natürliche Zahl, eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
−3
Lösung

−3 ist eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\frac{8}{5}$

Lösung

$\frac{8}{5}$ ist eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$-\frac{3}{4}$

Lösung

$-\frac{3}{4}$ ist eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\sqrt{5}$

Lösung

$\sqrt{5}$ ist eine irrationale Zahl und eine reelle Zahl.
20,55
Lösung

20,55 ist eine Dezimalzahl und somit eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$-\frac{9}{3}$

Lösung

$-\frac{9}{3}$ ist eine ganze Zahl und eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\frac{20}{10}$

Lösung

$\frac{20}{10}$ ist eine natürliche Zahl und eine ganze Zahl und eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.

5. Größer, kleiner oder gleich?

Setzen Sie das Größer- oder Kleinerzeichen richtig ein. Die Öffnung ist immer bei der großen Seite.

Wörter 5

Addition und Subtraktion

Nachdenken und mit einem Bild vom Thermometer überlegen.

Beispiel: 10 – 13 = –3
Beispiel: –5 + 10 = +5
Beispiel: –5 – 10 = –15

Übung

Zeichnen Sie ein Bild von einem Thermometer zum 2. und 3. Beispiel.

Multiplikation und Division

Gleiche Vorzeichen ergeben +
Ungleiche Vorzeichen ergeben –

+ • + = +
– • – = +
+ • – = –
– • + = –

Beispiel: –5 • 10 = –50
Beispiel: –5 • (–10) = +50

+ / + = +
– / – = +
+ / – = –
– / + = –

Beispiel: –10 / 5 = –2
Beispiel: –10 / (–5) = +2

Hinweise

Statt +2 schreiben wir auch einfach 2.
Statt 5 • –2 schreiben wir lieber 5 • (–2).
+ kann ein Rechenzeichen für die Addition sein oder ein Vorzeichen.
5 + 3 = (Rechenzeichen für die Addition)
+3 = (Vorzeichen für die Zahl 3)
– kann ein Rechenzeichen für die Subtraktion sein oder ein Vorzeichen.
5 – 3 = (Rechenzeichen für die Subtraktion)
–3 = (Vorzeichen für die Zahl Minus Drei)

Übungen

Wörter 7

Der Kontostand beträgt –200 €. Es kommen 500 € dazu. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

+300 € oder einfach 300 €
Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

–400 €
Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?
Lösung

–8° Celsius
Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?
Lösung

+13° Celsius
Wieviel ist –50 • –2?
Lösung

+100 oder einfach 100
Wieviel ist 50 / (–2)?
Lösung

–25
Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?
Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?

Lösung

–400 €

Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?

Lösung

–8° Celsius

Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?

Lösung

+13° Celsius

Wieviel ist –50 • –2?

Lösung

+100 oder einfach 100

Wieviel ist 50 / (–2)?

Lösung

–25

Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?

Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Mit Zahlen beginnt die Reise in die Welt der Mathematik. Wer Zahlen unterscheiden kann, bestimmt, wohin die Reise geht.

Wörter 1

Mit natürlichen Zahlen können Sie das Alter von Menschen angeben.
Mit natürlichen Zahlen können Sie die Anzahl Ihrer Freunde angeben.
Mit natürlichen Zahlen können Sie alles Mögliche zählen.
Natürliche Zahlen haben kein Komma. Es gibt keine halben natürlichen Zahlen.

Beobachtungen

Wir können die natürlichen Zahlen der Größe nach sortieren: 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 < 7 < 8 < 9 < …
Wenn wir natürliche Zahlen addieren, dann erhalten wir wieder eine natürliche Zahl: 13 + 6 = 19
Wenn wir natürliche Zahlen multiplizieren, dann erhalten wir wieder eine natürliche Zahl: 2 • 9 = 18

Vermutung

Wenn wir natürliche Zahlen subtrahieren, erhalten wir wieder eine natürliche Zahl?
17 – 6 = 11 … die Vermutung ist richtig.

10 – 13 = ? … die Vermutung ist falsch. Es gibt keine natürlichen Zahlen unter 0.

Wir erinnern uns

Es gibt eine Temperatur unter 0. Es hat 10 Grad, und es wird um 13° kälter. Das Thermometer zeigt die Lösungen des Problems: Es hat –3°.

Die Null wird erst seit kurzem zu den natürlichen Zahlen gezählt. Möchten Sie wissen, wie die Null zu den natürlichen Zahlen gekommen ist? Diese Geschichte können Sie hier lesen.

3. Die Ganzen Zahlen

Es gibt Temperaturen unter Null: Diese Temperaturwerte haben ein – als Vorzeichen.

Beispiel:

10-3=-3

Wir sagen: –3 hat ein negatives Vorzeichen. –3 ist eine negative Zahl.

Wörter 3

Wir kombinieren eine ganze Zahl und eine natürliche Zahl mit einem Bruchstrich zu einer Bruchzahl.

Beispiele für Bruchzahlen:

\frac{3}{4},\ \frac{-6}{3},\ \frac{8}{10}

Die Zahl oben wird Zähler bezeichnet. Sie kann + positiv oder – negativ sein. Eine ganze Zahl.

Die Zahl unten wird Nenner bezeichnet. Sie gibt die Art des Bruches an und ist immer + positiv. Eine natürliche Zahl.

Ein Bruchstrich ist immer auch ein Divisionszeichen. Sie können jederzeit 3 : 4 berechnen und erhalten meist eine Dezimalzahl – eine Zahl mit Komma. Dezimalzahlen sind Bruchzahlen.

Wir schreiben die Menge aller Bruchzahlen auch so auf:

\mathbb{Q}=\left\{\frac{m}{n}\right\}

m … ganze Zahl (da kann schon mal ein – dabei sein)
n … natürliche Zahl (immer positiv)

Wir lernen in einem späteren Kapitel, mit Bruchzahlen richtig zu rechnen.

Beobachtungen

Bruchzahlen sortieren

\frac{3}{4},\ \frac{-6}{3},\ \frac{8}{10}

\frac{3}{4}=0{,}75\quad\text{und}\quad\frac{-6}{3}=-2\quad\text{und}\quad\frac{8}{10}=0{,}8

–2 < 0,75 < 0,8

Daher:

\frac{-6}{3} < \frac{3}{4} < \frac{8}{10}

Bruchzahlen addieren

Wenn wir Bruchzahlen addieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=\frac{6}{4}

Bruchzahlen subtrahieren

Wenn wir Bruchzahlen subtrahieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}-\frac{5}{4}=\frac{-2}{4}

Bruchzahlen multiplizieren

Wenn wir Bruchzahlen multiplizieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{16}

Bruchzahlen dividieren

Wenn wir Bruchzahlen dividieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{5}{3}:\frac{2}{7}=\frac{5}{3}\cdot\frac{7}{2}=\frac{35}{6}

Wir lernen das im Detail noch später.

Alle natürlichen Zahlen und alle ganzen Zahlen sind gleichzeitig Bruchzahlen. Ihr Nenner ist 1.

Beispiele

3=\frac{3}{1}\\-4=\frac{-4}{1}

Zusammenfassung

Mit den Bruchzahlen kennen wir nun auch die Dezimalzahlen. Dezimalzahlen sind Bruchzahlen. Wir brauchen dazu nur die Brüche zu dividieren.

Wir kennen nun fast alle „Zahlen unseres Lebens“.

Alle natürlichen Zahlen sind auch ganze Zahlen, diese sind auch Bruchzahlen, und diese sind auch reelle Zahlen. Wir schreiben:

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}

$\mathbb{N}$ … Natürliche Zahlen (ohne Komma, + positiv)
Beispiele: 8, 20, 33, 100, 221

$\mathbb{Z}$ … Ganze Zahlen (ohne Komma, + positiv und – negativ)
Beispiele: –12, –5, 0, 7, 150

$\mathbb{I}$ … Irrationale Zahlen (nicht durch Bruch darstellbar, aber Dezimalzahlen)
Beispiele: $\sqrt{2}$ , $\sqrt{5}$ , $\pi$

$\mathbb{R}$ … Reelle Zahlen („Alle unsere Zahlen“)
Beispiele: –23,15, –3, 0, 4/3, $\sqrt{3}$ , 5

Aufgaben

Zu welchen Zahlenmengen gehören die folgenden Zahlen?

1
Lösung

1 ist eine natürliche Zahl, eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
0
Lösung

0 ist eine natürliche Zahl, eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
−3
Lösung

−3 ist eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\frac{8}{5}$

Lösung

$\frac{8}{5}$ ist eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$-\frac{3}{4}$

Lösung

$-\frac{3}{4}$ ist eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\sqrt{5}$

Lösung

$\sqrt{5}$ ist eine irrationale Zahl und eine reelle Zahl.
20,55
Lösung

20,55 ist eine Dezimalzahl und somit eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$-\frac{9}{3}$

Lösung

$-\frac{9}{3}$ ist eine ganze Zahl und eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\frac{20}{10}$

Lösung

$\frac{20}{10}$ ist eine natürliche Zahl und eine ganze Zahl und eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.

5. Größer, kleiner oder gleich?

Setzen Sie das Größer- oder Kleinerzeichen richtig ein. Die Öffnung ist immer bei der großen Seite.

Wörter 5

Addition und Subtraktion

Nachdenken und mit einem Bild vom Thermometer überlegen.

Beispiel: 10 – 13 = –3
Beispiel: –5 + 10 = +5
Beispiel: –5 – 10 = –15

Übung

Zeichnen Sie ein Bild von einem Thermometer zum 2. und 3. Beispiel.

Multiplikation und Division

Gleiche Vorzeichen ergeben +
Ungleiche Vorzeichen ergeben –

+ • + = +
– • – = +
+ • – = –
– • + = –

Beispiel: –5 • 10 = –50
Beispiel: –5 • (–10) = +50

+ / + = +
– / – = +
+ / – = –
– / + = –

Beispiel: –10 / 5 = –2
Beispiel: –10 / (–5) = +2

Hinweise

Statt +2 schreiben wir auch einfach 2.
Statt 5 • –2 schreiben wir lieber 5 • (–2).
+ kann ein Rechenzeichen für die Addition sein oder ein Vorzeichen.
5 + 3 = (Rechenzeichen für die Addition)
+3 = (Vorzeichen für die Zahl 3)
– kann ein Rechenzeichen für die Subtraktion sein oder ein Vorzeichen.
5 – 3 = (Rechenzeichen für die Subtraktion)
–3 = (Vorzeichen für die Zahl Minus Drei)

Übungen

Wörter 7

Der Kontostand beträgt –200 €. Es kommen 500 € dazu. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

+300 € oder einfach 300 €
Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

–400 €
Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?
Lösung

–8° Celsius
Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?
Lösung

+13° Celsius
Wieviel ist –50 • –2?
Lösung

+100 oder einfach 100
Wieviel ist 50 / (–2)?
Lösung

–25
Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?
Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Der Kontostand beträgt –200 €. Es kommen 500 € dazu. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

+300 € oder einfach 300 €
Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

–400 €
Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?
Lösung

–8° Celsius
Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?
Lösung

+13° Celsius
Wieviel ist –50 • –2?
Lösung

+100 oder einfach 100
Wieviel ist 50 / (–2)?
Lösung

–25
Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?
Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Mit Zahlen beginnt die Reise in die Welt der Mathematik. Wer Zahlen unterscheiden kann, bestimmt, wohin die Reise geht.

Wörter 1

Mit natürlichen Zahlen können Sie das Alter von Menschen angeben.
Mit natürlichen Zahlen können Sie die Anzahl Ihrer Freunde angeben.
Mit natürlichen Zahlen können Sie alles Mögliche zählen.
Natürliche Zahlen haben kein Komma. Es gibt keine halben natürlichen Zahlen.

Beobachtungen

Wir können die natürlichen Zahlen der Größe nach sortieren: 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 < 7 < 8 < 9 < …
Wenn wir natürliche Zahlen addieren, dann erhalten wir wieder eine natürliche Zahl: 13 + 6 = 19
Wenn wir natürliche Zahlen multiplizieren, dann erhalten wir wieder eine natürliche Zahl: 2 • 9 = 18

Vermutung

Wenn wir natürliche Zahlen subtrahieren, erhalten wir wieder eine natürliche Zahl?
17 – 6 = 11 … die Vermutung ist richtig.

10 – 13 = ? … die Vermutung ist falsch. Es gibt keine natürlichen Zahlen unter 0.

Wir erinnern uns

Es gibt eine Temperatur unter 0. Es hat 10 Grad, und es wird um 13° kälter. Das Thermometer zeigt die Lösungen des Problems: Es hat –3°.

Die Null wird erst seit kurzem zu den natürlichen Zahlen gezählt. Möchten Sie wissen, wie die Null zu den natürlichen Zahlen gekommen ist? Diese Geschichte können Sie hier lesen.

3. Die Ganzen Zahlen

Es gibt Temperaturen unter Null: Diese Temperaturwerte haben ein – als Vorzeichen.

Beispiel:

10-3=-3

Wir sagen: –3 hat ein negatives Vorzeichen. –3 ist eine negative Zahl.

Wörter 3

Wir kombinieren eine ganze Zahl und eine natürliche Zahl mit einem Bruchstrich zu einer Bruchzahl.

Beispiele für Bruchzahlen:

\frac{3}{4},\ \frac{-6}{3},\ \frac{8}{10}

Die Zahl oben wird Zähler bezeichnet. Sie kann + positiv oder – negativ sein. Eine ganze Zahl.

Die Zahl unten wird Nenner bezeichnet. Sie gibt die Art des Bruches an und ist immer + positiv. Eine natürliche Zahl.

Ein Bruchstrich ist immer auch ein Divisionszeichen. Sie können jederzeit 3 : 4 berechnen und erhalten meist eine Dezimalzahl – eine Zahl mit Komma. Dezimalzahlen sind Bruchzahlen.

Wir schreiben die Menge aller Bruchzahlen auch so auf:

\mathbb{Q}=\left\{\frac{m}{n}\right\}

m … ganze Zahl (da kann schon mal ein – dabei sein)
n … natürliche Zahl (immer positiv)

Wir lernen in einem späteren Kapitel, mit Bruchzahlen richtig zu rechnen.

Beobachtungen

Bruchzahlen sortieren

\frac{3}{4},\ \frac{-6}{3},\ \frac{8}{10}

\frac{3}{4}=0{,}75\quad\text{und}\quad\frac{-6}{3}=-2\quad\text{und}\quad\frac{8}{10}=0{,}8

–2 < 0,75 < 0,8

Daher:

\frac{-6}{3} < \frac{3}{4} < \frac{8}{10}

Bruchzahlen addieren

Wenn wir Bruchzahlen addieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=\frac{6}{4}

Bruchzahlen subtrahieren

Wenn wir Bruchzahlen subtrahieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}-\frac{5}{4}=\frac{-2}{4}

Bruchzahlen multiplizieren

Wenn wir Bruchzahlen multiplizieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{16}

Bruchzahlen dividieren

Wenn wir Bruchzahlen dividieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{5}{3}:\frac{2}{7}=\frac{5}{3}\cdot\frac{7}{2}=\frac{35}{6}

Wir lernen das im Detail noch später.

Alle natürlichen Zahlen und alle ganzen Zahlen sind gleichzeitig Bruchzahlen. Ihr Nenner ist 1.

Beispiele

3=\frac{3}{1}\\-4=\frac{-4}{1}

Zusammenfassung

Mit den Bruchzahlen kennen wir nun auch die Dezimalzahlen. Dezimalzahlen sind Bruchzahlen. Wir brauchen dazu nur die Brüche zu dividieren.

Wir kennen nun fast alle „Zahlen unseres Lebens“.

Alle natürlichen Zahlen sind auch ganze Zahlen, diese sind auch Bruchzahlen, und diese sind auch reelle Zahlen. Wir schreiben:

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}

$\mathbb{N}$ … Natürliche Zahlen (ohne Komma, + positiv)
Beispiele: 8, 20, 33, 100, 221

$\mathbb{Z}$ … Ganze Zahlen (ohne Komma, + positiv und – negativ)
Beispiele: –12, –5, 0, 7, 150

$\mathbb{I}$ … Irrationale Zahlen (nicht durch Bruch darstellbar, aber Dezimalzahlen)
Beispiele: $\sqrt{2}$ , $\sqrt{5}$ , $\pi$

$\mathbb{R}$ … Reelle Zahlen („Alle unsere Zahlen“)
Beispiele: –23,15, –3, 0, 4/3, $\sqrt{3}$ , 5

Aufgaben

Zu welchen Zahlenmengen gehören die folgenden Zahlen?

1
Lösung

1 ist eine natürliche Zahl, eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
0
Lösung

0 ist eine natürliche Zahl, eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
−3
Lösung

−3 ist eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\frac{8}{5}$

Lösung

$\frac{8}{5}$ ist eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$-\frac{3}{4}$

Lösung

$-\frac{3}{4}$ ist eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\sqrt{5}$

Lösung

$\sqrt{5}$ ist eine irrationale Zahl und eine reelle Zahl.
20,55
Lösung

20,55 ist eine Dezimalzahl und somit eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$-\frac{9}{3}$

Lösung

$-\frac{9}{3}$ ist eine ganze Zahl und eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\frac{20}{10}$

Lösung

$\frac{20}{10}$ ist eine natürliche Zahl und eine ganze Zahl und eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.

5. Größer, kleiner oder gleich?

Setzen Sie das Größer- oder Kleinerzeichen richtig ein. Die Öffnung ist immer bei der großen Seite.

Wörter 5

Addition und Subtraktion

Nachdenken und mit einem Bild vom Thermometer überlegen.

Beispiel: 10 – 13 = –3
Beispiel: –5 + 10 = +5
Beispiel: –5 – 10 = –15

Übung

Zeichnen Sie ein Bild von einem Thermometer zum 2. und 3. Beispiel.

Multiplikation und Division

Gleiche Vorzeichen ergeben +
Ungleiche Vorzeichen ergeben –

+ • + = +
– • – = +
+ • – = –
– • + = –

Beispiel: –5 • 10 = –50
Beispiel: –5 • (–10) = +50

+ / + = +
– / – = +
+ / – = –
– / + = –

Beispiel: –10 / 5 = –2
Beispiel: –10 / (–5) = +2

Hinweise

Statt +2 schreiben wir auch einfach 2.
Statt 5 • –2 schreiben wir lieber 5 • (–2).
+ kann ein Rechenzeichen für die Addition sein oder ein Vorzeichen.
5 + 3 = (Rechenzeichen für die Addition)
+3 = (Vorzeichen für die Zahl 3)
– kann ein Rechenzeichen für die Subtraktion sein oder ein Vorzeichen.
5 – 3 = (Rechenzeichen für die Subtraktion)
–3 = (Vorzeichen für die Zahl Minus Drei)

Übungen

Wörter 7

Der Kontostand beträgt –200 €. Es kommen 500 € dazu. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

+300 € oder einfach 300 €
Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

–400 €
Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?
Lösung

–8° Celsius
Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?
Lösung

+13° Celsius
Wieviel ist –50 • –2?
Lösung

+100 oder einfach 100
Wieviel ist 50 / (–2)?
Lösung

–25
Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?
Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Der Kontostand beträgt –200 €. Es kommen 500 € dazu. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

+300 € oder einfach 300 €
Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

–400 €
Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?
Lösung

–8° Celsius
Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?
Lösung

+13° Celsius
Wieviel ist –50 • –2?
Lösung

+100 oder einfach 100
Wieviel ist 50 / (–2)?
Lösung

–25
Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?
Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Mit Zahlen beginnt die Reise in die Welt der Mathematik. Wer Zahlen unterscheiden kann, bestimmt, wohin die Reise geht.

Wörter 1

Mit natürlichen Zahlen können Sie das Alter von Menschen angeben.
Mit natürlichen Zahlen können Sie die Anzahl Ihrer Freunde angeben.
Mit natürlichen Zahlen können Sie alles Mögliche zählen.
Natürliche Zahlen haben kein Komma. Es gibt keine halben natürlichen Zahlen.

Beobachtungen

Wir können die natürlichen Zahlen der Größe nach sortieren: 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 < 7 < 8 < 9 < …
Wenn wir natürliche Zahlen addieren, dann erhalten wir wieder eine natürliche Zahl: 13 + 6 = 19
Wenn wir natürliche Zahlen multiplizieren, dann erhalten wir wieder eine natürliche Zahl: 2 • 9 = 18

Vermutung

Wenn wir natürliche Zahlen subtrahieren, erhalten wir wieder eine natürliche Zahl?
17 – 6 = 11 … die Vermutung ist richtig.

10 – 13 = ? … die Vermutung ist falsch. Es gibt keine natürlichen Zahlen unter 0.

Wir erinnern uns

Es gibt eine Temperatur unter 0. Es hat 10 Grad, und es wird um 13° kälter. Das Thermometer zeigt die Lösungen des Problems: Es hat –3°.

Die Null wird erst seit kurzem zu den natürlichen Zahlen gezählt. Möchten Sie wissen, wie die Null zu den natürlichen Zahlen gekommen ist? Diese Geschichte können Sie hier lesen.

3. Die Ganzen Zahlen

Es gibt Temperaturen unter Null: Diese Temperaturwerte haben ein – als Vorzeichen.

Beispiel:

10-3=-3

Wir sagen: –3 hat ein negatives Vorzeichen. –3 ist eine negative Zahl.

Wörter 3

Wir kombinieren eine ganze Zahl und eine natürliche Zahl mit einem Bruchstrich zu einer Bruchzahl.

Beispiele für Bruchzahlen:

\frac{3}{4},\ \frac{-6}{3},\ \frac{8}{10}

Die Zahl oben wird Zähler bezeichnet. Sie kann + positiv oder – negativ sein. Eine ganze Zahl.

Die Zahl unten wird Nenner bezeichnet. Sie gibt die Art des Bruches an und ist immer + positiv. Eine natürliche Zahl.

Ein Bruchstrich ist immer auch ein Divisionszeichen. Sie können jederzeit 3 : 4 berechnen und erhalten meist eine Dezimalzahl – eine Zahl mit Komma. Dezimalzahlen sind Bruchzahlen.

Wir schreiben die Menge aller Bruchzahlen auch so auf:

\mathbb{Q}=\left\{\frac{m}{n}\right\}

m … ganze Zahl (da kann schon mal ein – dabei sein)
n … natürliche Zahl (immer positiv)

Wir lernen in einem späteren Kapitel, mit Bruchzahlen richtig zu rechnen.

Beobachtungen

Bruchzahlen sortieren

\frac{3}{4},\ \frac{-6}{3},\ \frac{8}{10}

\frac{3}{4}=0{,}75\quad\text{und}\quad\frac{-6}{3}=-2\quad\text{und}\quad\frac{8}{10}=0{,}8

–2 < 0,75 < 0,8

Daher:

\frac{-6}{3} < \frac{3}{4} < \frac{8}{10}

Bruchzahlen addieren

Wenn wir Bruchzahlen addieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=\frac{6}{4}

Bruchzahlen subtrahieren

Wenn wir Bruchzahlen subtrahieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}-\frac{5}{4}=\frac{-2}{4}

Bruchzahlen multiplizieren

Wenn wir Bruchzahlen multiplizieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{16}

Bruchzahlen dividieren

Wenn wir Bruchzahlen dividieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{5}{3}:\frac{2}{7}=\frac{5}{3}\cdot\frac{7}{2}=\frac{35}{6}

Wir lernen das im Detail noch später.

Alle natürlichen Zahlen und alle ganzen Zahlen sind gleichzeitig Bruchzahlen. Ihr Nenner ist 1.

Beispiele

3=\frac{3}{1}\\-4=\frac{-4}{1}

Zusammenfassung

Mit den Bruchzahlen kennen wir nun auch die Dezimalzahlen. Dezimalzahlen sind Bruchzahlen. Wir brauchen dazu nur die Brüche zu dividieren.

Wir kennen nun fast alle „Zahlen unseres Lebens“.

Alle natürlichen Zahlen sind auch ganze Zahlen, diese sind auch Bruchzahlen, und diese sind auch reelle Zahlen. Wir schreiben:

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}

$\mathbb{N}$ … Natürliche Zahlen (ohne Komma, + positiv)
Beispiele: 8, 20, 33, 100, 221

$\mathbb{Z}$ … Ganze Zahlen (ohne Komma, + positiv und – negativ)
Beispiele: –12, –5, 0, 7, 150

$\mathbb{I}$ … Irrationale Zahlen (nicht durch Bruch darstellbar, aber Dezimalzahlen)
Beispiele: $\sqrt{2}$ , $\sqrt{5}$ , $\pi$

$\mathbb{R}$ … Reelle Zahlen („Alle unsere Zahlen“)
Beispiele: –23,15, –3, 0, 4/3, $\sqrt{3}$ , 5

Aufgaben

Zu welchen Zahlenmengen gehören die folgenden Zahlen?

1
Lösung

1 ist eine natürliche Zahl, eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
0
Lösung

0 ist eine natürliche Zahl, eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
−3
Lösung

−3 ist eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\frac{8}{5}$

Lösung

$\frac{8}{5}$ ist eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$-\frac{3}{4}$

Lösung

$-\frac{3}{4}$ ist eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\sqrt{5}$

Lösung

$\sqrt{5}$ ist eine irrationale Zahl und eine reelle Zahl.
20,55
Lösung

20,55 ist eine Dezimalzahl und somit eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$-\frac{9}{3}$

Lösung

$-\frac{9}{3}$ ist eine ganze Zahl und eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\frac{20}{10}$

Lösung

$\frac{20}{10}$ ist eine natürliche Zahl und eine ganze Zahl und eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.

5. Größer, kleiner oder gleich?

Setzen Sie das Größer- oder Kleinerzeichen richtig ein. Die Öffnung ist immer bei der großen Seite.

Wörter 5

Addition und Subtraktion

Nachdenken und mit einem Bild vom Thermometer überlegen.

Beispiel: 10 – 13 = –3
Beispiel: –5 + 10 = +5
Beispiel: –5 – 10 = –15

Übung

Zeichnen Sie ein Bild von einem Thermometer zum 2. und 3. Beispiel.

Multiplikation und Division

Gleiche Vorzeichen ergeben +
Ungleiche Vorzeichen ergeben –

+ • + = +
– • – = +
+ • – = –
– • + = –

Beispiel: –5 • 10 = –50
Beispiel: –5 • (–10) = +50

+ / + = +
– / – = +
+ / – = –
– / + = –

Beispiel: –10 / 5 = –2
Beispiel: –10 / (–5) = +2

Hinweise

Statt +2 schreiben wir auch einfach 2.
Statt 5 • –2 schreiben wir lieber 5 • (–2).
+ kann ein Rechenzeichen für die Addition sein oder ein Vorzeichen.
5 + 3 = (Rechenzeichen für die Addition)
+3 = (Vorzeichen für die Zahl 3)
– kann ein Rechenzeichen für die Subtraktion sein oder ein Vorzeichen.
5 – 3 = (Rechenzeichen für die Subtraktion)
–3 = (Vorzeichen für die Zahl Minus Drei)

Übungen

Wörter 7

Der Kontostand beträgt –200 €. Es kommen 500 € dazu. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

+300 € oder einfach 300 €
Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

–400 €
Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?
Lösung

–8° Celsius
Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?
Lösung

+13° Celsius
Wieviel ist –50 • –2?
Lösung

+100 oder einfach 100
Wieviel ist 50 / (–2)?
Lösung

–25
Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?
Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?

Lösung

+13° Celsius

Wieviel ist –50 • –2?

Lösung

+100 oder einfach 100

Wieviel ist 50 / (–2)?

Lösung

–25

Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?

Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Der Kontostand beträgt –200 €. Es kommen 500 € dazu. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

+300 € oder einfach 300 €
Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

–400 €
Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?
Lösung

–8° Celsius
Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?
Lösung

+13° Celsius
Wieviel ist –50 • –2?
Lösung

+100 oder einfach 100
Wieviel ist 50 / (–2)?
Lösung

–25
Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?
Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Mit Zahlen beginnt die Reise in die Welt der Mathematik. Wer Zahlen unterscheiden kann, bestimmt, wohin die Reise geht.

Wörter 1

Mit natürlichen Zahlen können Sie das Alter von Menschen angeben.
Mit natürlichen Zahlen können Sie die Anzahl Ihrer Freunde angeben.
Mit natürlichen Zahlen können Sie alles Mögliche zählen.
Natürliche Zahlen haben kein Komma. Es gibt keine halben natürlichen Zahlen.

Beobachtungen

Wir können die natürlichen Zahlen der Größe nach sortieren: 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 < 7 < 8 < 9 < …
Wenn wir natürliche Zahlen addieren, dann erhalten wir wieder eine natürliche Zahl: 13 + 6 = 19
Wenn wir natürliche Zahlen multiplizieren, dann erhalten wir wieder eine natürliche Zahl: 2 • 9 = 18

Vermutung

Wenn wir natürliche Zahlen subtrahieren, erhalten wir wieder eine natürliche Zahl?
17 – 6 = 11 … die Vermutung ist richtig.

10 – 13 = ? … die Vermutung ist falsch. Es gibt keine natürlichen Zahlen unter 0.

Wir erinnern uns

Es gibt eine Temperatur unter 0. Es hat 10 Grad, und es wird um 13° kälter. Das Thermometer zeigt die Lösungen des Problems: Es hat –3°.

Die Null wird erst seit kurzem zu den natürlichen Zahlen gezählt. Möchten Sie wissen, wie die Null zu den natürlichen Zahlen gekommen ist? Diese Geschichte können Sie hier lesen.

3. Die Ganzen Zahlen

Es gibt Temperaturen unter Null: Diese Temperaturwerte haben ein – als Vorzeichen.

Beispiel:

10-3=-3

Wir sagen: –3 hat ein negatives Vorzeichen. –3 ist eine negative Zahl.

Wörter 3

Wir kombinieren eine ganze Zahl und eine natürliche Zahl mit einem Bruchstrich zu einer Bruchzahl.

Beispiele für Bruchzahlen:

\frac{3}{4},\ \frac{-6}{3},\ \frac{8}{10}

Die Zahl oben wird Zähler bezeichnet. Sie kann + positiv oder – negativ sein. Eine ganze Zahl.

Die Zahl unten wird Nenner bezeichnet. Sie gibt die Art des Bruches an und ist immer + positiv. Eine natürliche Zahl.

Ein Bruchstrich ist immer auch ein Divisionszeichen. Sie können jederzeit 3 : 4 berechnen und erhalten meist eine Dezimalzahl – eine Zahl mit Komma. Dezimalzahlen sind Bruchzahlen.

Wir schreiben die Menge aller Bruchzahlen auch so auf:

\mathbb{Q}=\left\{\frac{m}{n}\right\}

m … ganze Zahl (da kann schon mal ein – dabei sein)
n … natürliche Zahl (immer positiv)

Wir lernen in einem späteren Kapitel, mit Bruchzahlen richtig zu rechnen.

Beobachtungen

Bruchzahlen sortieren

\frac{3}{4},\ \frac{-6}{3},\ \frac{8}{10}

\frac{3}{4}=0{,}75\quad\text{und}\quad\frac{-6}{3}=-2\quad\text{und}\quad\frac{8}{10}=0{,}8

–2 < 0,75 < 0,8

Daher:

\frac{-6}{3} < \frac{3}{4} < \frac{8}{10}

Bruchzahlen addieren

Wenn wir Bruchzahlen addieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=\frac{6}{4}

Bruchzahlen subtrahieren

Wenn wir Bruchzahlen subtrahieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}-\frac{5}{4}=\frac{-2}{4}

Bruchzahlen multiplizieren

Wenn wir Bruchzahlen multiplizieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{16}

Bruchzahlen dividieren

Wenn wir Bruchzahlen dividieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{5}{3}:\frac{2}{7}=\frac{5}{3}\cdot\frac{7}{2}=\frac{35}{6}

Wir lernen das im Detail noch später.

Alle natürlichen Zahlen und alle ganzen Zahlen sind gleichzeitig Bruchzahlen. Ihr Nenner ist 1.

Beispiele

3=\frac{3}{1}\\-4=\frac{-4}{1}

Zusammenfassung

Mit den Bruchzahlen kennen wir nun auch die Dezimalzahlen. Dezimalzahlen sind Bruchzahlen. Wir brauchen dazu nur die Brüche zu dividieren.

Wir kennen nun fast alle „Zahlen unseres Lebens“.

Alle natürlichen Zahlen sind auch ganze Zahlen, diese sind auch Bruchzahlen, und diese sind auch reelle Zahlen. Wir schreiben:

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}

$\mathbb{N}$ … Natürliche Zahlen (ohne Komma, + positiv)
Beispiele: 8, 20, 33, 100, 221

$\mathbb{Z}$ … Ganze Zahlen (ohne Komma, + positiv und – negativ)
Beispiele: –12, –5, 0, 7, 150

$\mathbb{I}$ … Irrationale Zahlen (nicht durch Bruch darstellbar, aber Dezimalzahlen)
Beispiele: $\sqrt{2}$ , $\sqrt{5}$ , $\pi$

$\mathbb{R}$ … Reelle Zahlen („Alle unsere Zahlen“)
Beispiele: –23,15, –3, 0, 4/3, $\sqrt{3}$ , 5

Aufgaben

Zu welchen Zahlenmengen gehören die folgenden Zahlen?

1
Lösung

1 ist eine natürliche Zahl, eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
0
Lösung

0 ist eine natürliche Zahl, eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
−3
Lösung

−3 ist eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\frac{8}{5}$

Lösung

$\frac{8}{5}$ ist eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$-\frac{3}{4}$

Lösung

$-\frac{3}{4}$ ist eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\sqrt{5}$

Lösung

$\sqrt{5}$ ist eine irrationale Zahl und eine reelle Zahl.
20,55
Lösung

20,55 ist eine Dezimalzahl und somit eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$-\frac{9}{3}$

Lösung

$-\frac{9}{3}$ ist eine ganze Zahl und eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\frac{20}{10}$

Lösung

$\frac{20}{10}$ ist eine natürliche Zahl und eine ganze Zahl und eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.

5. Größer, kleiner oder gleich?

Setzen Sie das Größer- oder Kleinerzeichen richtig ein. Die Öffnung ist immer bei der großen Seite.

Wörter 5

Addition und Subtraktion

Nachdenken und mit einem Bild vom Thermometer überlegen.

Beispiel: 10 – 13 = –3
Beispiel: –5 + 10 = +5
Beispiel: –5 – 10 = –15

Übung

Zeichnen Sie ein Bild von einem Thermometer zum 2. und 3. Beispiel.

Multiplikation und Division

Gleiche Vorzeichen ergeben +
Ungleiche Vorzeichen ergeben –

+ • + = +
– • – = +
+ • – = –
– • + = –

Beispiel: –5 • 10 = –50
Beispiel: –5 • (–10) = +50

+ / + = +
– / – = +
+ / – = –
– / + = –

Beispiel: –10 / 5 = –2
Beispiel: –10 / (–5) = +2

Hinweise

Statt +2 schreiben wir auch einfach 2.
Statt 5 • –2 schreiben wir lieber 5 • (–2).
+ kann ein Rechenzeichen für die Addition sein oder ein Vorzeichen.
5 + 3 = (Rechenzeichen für die Addition)
+3 = (Vorzeichen für die Zahl 3)
– kann ein Rechenzeichen für die Subtraktion sein oder ein Vorzeichen.
5 – 3 = (Rechenzeichen für die Subtraktion)
–3 = (Vorzeichen für die Zahl Minus Drei)

Übungen

Wörter 7

Der Kontostand beträgt –200 €. Es kommen 500 € dazu. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

+300 € oder einfach 300 €
Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

–400 €
Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?
Lösung

–8° Celsius
Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?
Lösung

+13° Celsius
Wieviel ist –50 • –2?
Lösung

+100 oder einfach 100
Wieviel ist 50 / (–2)?
Lösung

–25
Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?
Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?

Lösung

–8° Celsius

Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?

Lösung

+13° Celsius

Wieviel ist –50 • –2?

Lösung

+100 oder einfach 100

Wieviel ist 50 / (–2)?

Lösung

–25

Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?

Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Der Kontostand beträgt –200 €. Es kommen 500 € dazu. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

+300 € oder einfach 300 €
Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

–400 €
Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?
Lösung

–8° Celsius
Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?
Lösung

+13° Celsius
Wieviel ist –50 • –2?
Lösung

+100 oder einfach 100
Wieviel ist 50 / (–2)?
Lösung

–25
Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?
Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Mit Zahlen beginnt die Reise in die Welt der Mathematik. Wer Zahlen unterscheiden kann, bestimmt, wohin die Reise geht.

Wörter 1

Mit natürlichen Zahlen können Sie das Alter von Menschen angeben.
Mit natürlichen Zahlen können Sie die Anzahl Ihrer Freunde angeben.
Mit natürlichen Zahlen können Sie alles Mögliche zählen.
Natürliche Zahlen haben kein Komma. Es gibt keine halben natürlichen Zahlen.

Beobachtungen

Wir können die natürlichen Zahlen der Größe nach sortieren: 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 < 7 < 8 < 9 < …
Wenn wir natürliche Zahlen addieren, dann erhalten wir wieder eine natürliche Zahl: 13 + 6 = 19
Wenn wir natürliche Zahlen multiplizieren, dann erhalten wir wieder eine natürliche Zahl: 2 • 9 = 18

Vermutung

Wenn wir natürliche Zahlen subtrahieren, erhalten wir wieder eine natürliche Zahl?
17 – 6 = 11 … die Vermutung ist richtig.

10 – 13 = ? … die Vermutung ist falsch. Es gibt keine natürlichen Zahlen unter 0.

Wir erinnern uns

Es gibt eine Temperatur unter 0. Es hat 10 Grad, und es wird um 13° kälter. Das Thermometer zeigt die Lösungen des Problems: Es hat –3°.

Die Null wird erst seit kurzem zu den natürlichen Zahlen gezählt. Möchten Sie wissen, wie die Null zu den natürlichen Zahlen gekommen ist? Diese Geschichte können Sie hier lesen.

3. Die Ganzen Zahlen

Es gibt Temperaturen unter Null: Diese Temperaturwerte haben ein – als Vorzeichen.

Beispiel:

10-3=-3

Wir sagen: –3 hat ein negatives Vorzeichen. –3 ist eine negative Zahl.

Wörter 3

Wir kombinieren eine ganze Zahl und eine natürliche Zahl mit einem Bruchstrich zu einer Bruchzahl.

Beispiele für Bruchzahlen:

\frac{3}{4},\ \frac{-6}{3},\ \frac{8}{10}

Die Zahl oben wird Zähler bezeichnet. Sie kann + positiv oder – negativ sein. Eine ganze Zahl.

Die Zahl unten wird Nenner bezeichnet. Sie gibt die Art des Bruches an und ist immer + positiv. Eine natürliche Zahl.

Ein Bruchstrich ist immer auch ein Divisionszeichen. Sie können jederzeit 3 : 4 berechnen und erhalten meist eine Dezimalzahl – eine Zahl mit Komma. Dezimalzahlen sind Bruchzahlen.

Wir schreiben die Menge aller Bruchzahlen auch so auf:

\mathbb{Q}=\left\{\frac{m}{n}\right\}

m … ganze Zahl (da kann schon mal ein – dabei sein)
n … natürliche Zahl (immer positiv)

Wir lernen in einem späteren Kapitel, mit Bruchzahlen richtig zu rechnen.

Beobachtungen

Bruchzahlen sortieren

\frac{3}{4},\ \frac{-6}{3},\ \frac{8}{10}

\frac{3}{4}=0{,}75\quad\text{und}\quad\frac{-6}{3}=-2\quad\text{und}\quad\frac{8}{10}=0{,}8

–2 < 0,75 < 0,8

Daher:

\frac{-6}{3} < \frac{3}{4} < \frac{8}{10}

Bruchzahlen addieren

Wenn wir Bruchzahlen addieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=\frac{6}{4}

Bruchzahlen subtrahieren

Wenn wir Bruchzahlen subtrahieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}-\frac{5}{4}=\frac{-2}{4}

Bruchzahlen multiplizieren

Wenn wir Bruchzahlen multiplizieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{16}

Bruchzahlen dividieren

Wenn wir Bruchzahlen dividieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{5}{3}:\frac{2}{7}=\frac{5}{3}\cdot\frac{7}{2}=\frac{35}{6}

Wir lernen das im Detail noch später.

Alle natürlichen Zahlen und alle ganzen Zahlen sind gleichzeitig Bruchzahlen. Ihr Nenner ist 1.

Beispiele

3=\frac{3}{1}\\-4=\frac{-4}{1}

Zusammenfassung

Mit den Bruchzahlen kennen wir nun auch die Dezimalzahlen. Dezimalzahlen sind Bruchzahlen. Wir brauchen dazu nur die Brüche zu dividieren.

Wir kennen nun fast alle „Zahlen unseres Lebens“.

Alle natürlichen Zahlen sind auch ganze Zahlen, diese sind auch Bruchzahlen, und diese sind auch reelle Zahlen. Wir schreiben:

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}

$\mathbb{N}$ … Natürliche Zahlen (ohne Komma, + positiv)
Beispiele: 8, 20, 33, 100, 221

$\mathbb{Z}$ … Ganze Zahlen (ohne Komma, + positiv und – negativ)
Beispiele: –12, –5, 0, 7, 150

$\mathbb{I}$ … Irrationale Zahlen (nicht durch Bruch darstellbar, aber Dezimalzahlen)
Beispiele: $\sqrt{2}$ , $\sqrt{5}$ , $\pi$

$\mathbb{R}$ … Reelle Zahlen („Alle unsere Zahlen“)
Beispiele: –23,15, –3, 0, 4/3, $\sqrt{3}$ , 5

Aufgaben

Zu welchen Zahlenmengen gehören die folgenden Zahlen?

1
Lösung

1 ist eine natürliche Zahl, eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
0
Lösung

0 ist eine natürliche Zahl, eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
−3
Lösung

−3 ist eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\frac{8}{5}$

Lösung

$\frac{8}{5}$ ist eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$-\frac{3}{4}$

Lösung

$-\frac{3}{4}$ ist eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\sqrt{5}$

Lösung

$\sqrt{5}$ ist eine irrationale Zahl und eine reelle Zahl.
20,55
Lösung

20,55 ist eine Dezimalzahl und somit eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$-\frac{9}{3}$

Lösung

$-\frac{9}{3}$ ist eine ganze Zahl und eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\frac{20}{10}$

Lösung

$\frac{20}{10}$ ist eine natürliche Zahl und eine ganze Zahl und eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.

5. Größer, kleiner oder gleich?

Setzen Sie das Größer- oder Kleinerzeichen richtig ein. Die Öffnung ist immer bei der großen Seite.

Wörter 5

Addition und Subtraktion

Nachdenken und mit einem Bild vom Thermometer überlegen.

Beispiel: 10 – 13 = –3
Beispiel: –5 + 10 = +5
Beispiel: –5 – 10 = –15

Übung

Zeichnen Sie ein Bild von einem Thermometer zum 2. und 3. Beispiel.

Multiplikation und Division

Gleiche Vorzeichen ergeben +
Ungleiche Vorzeichen ergeben –

+ • + = +
– • – = +
+ • – = –
– • + = –

Beispiel: –5 • 10 = –50
Beispiel: –5 • (–10) = +50

+ / + = +
– / – = +
+ / – = –
– / + = –

Beispiel: –10 / 5 = –2
Beispiel: –10 / (–5) = +2

Hinweise

Statt +2 schreiben wir auch einfach 2.
Statt 5 • –2 schreiben wir lieber 5 • (–2).
+ kann ein Rechenzeichen für die Addition sein oder ein Vorzeichen.
5 + 3 = (Rechenzeichen für die Addition)
+3 = (Vorzeichen für die Zahl 3)
– kann ein Rechenzeichen für die Subtraktion sein oder ein Vorzeichen.
5 – 3 = (Rechenzeichen für die Subtraktion)
–3 = (Vorzeichen für die Zahl Minus Drei)

Übungen

Wörter 7

Der Kontostand beträgt –200 €. Es kommen 500 € dazu. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

+300 € oder einfach 300 €
Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

–400 €
Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?
Lösung

–8° Celsius
Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?
Lösung

+13° Celsius
Wieviel ist –50 • –2?
Lösung

+100 oder einfach 100
Wieviel ist 50 / (–2)?
Lösung

–25
Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?
Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?

Lösung

–400 €

Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?

Lösung

–8° Celsius

Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?

Lösung

+13° Celsius

Wieviel ist –50 • –2?

Lösung

+100 oder einfach 100

Wieviel ist 50 / (–2)?

Lösung

–25

Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?

Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Der Kontostand beträgt –200 €. Es kommen 500 € dazu. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

+300 € oder einfach 300 €
Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

–400 €
Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?
Lösung

–8° Celsius
Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?
Lösung

+13° Celsius
Wieviel ist –50 • –2?
Lösung

+100 oder einfach 100
Wieviel ist 50 / (–2)?
Lösung

–25
Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?
Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Mit Zahlen beginnt die Reise in die Welt der Mathematik. Wer Zahlen unterscheiden kann, bestimmt, wohin die Reise geht.

Wörter 1

Mit natürlichen Zahlen können Sie das Alter von Menschen angeben.
Mit natürlichen Zahlen können Sie die Anzahl Ihrer Freunde angeben.
Mit natürlichen Zahlen können Sie alles Mögliche zählen.
Natürliche Zahlen haben kein Komma. Es gibt keine halben natürlichen Zahlen.

Beobachtungen

Wir können die natürlichen Zahlen der Größe nach sortieren: 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 < 7 < 8 < 9 < …
Wenn wir natürliche Zahlen addieren, dann erhalten wir wieder eine natürliche Zahl: 13 + 6 = 19
Wenn wir natürliche Zahlen multiplizieren, dann erhalten wir wieder eine natürliche Zahl: 2 • 9 = 18

Vermutung

Wenn wir natürliche Zahlen subtrahieren, erhalten wir wieder eine natürliche Zahl?
17 – 6 = 11 … die Vermutung ist richtig.

10 – 13 = ? … die Vermutung ist falsch. Es gibt keine natürlichen Zahlen unter 0.

Wir erinnern uns

Es gibt eine Temperatur unter 0. Es hat 10 Grad, und es wird um 13° kälter. Das Thermometer zeigt die Lösungen des Problems: Es hat –3°.

Die Null wird erst seit kurzem zu den natürlichen Zahlen gezählt. Möchten Sie wissen, wie die Null zu den natürlichen Zahlen gekommen ist? Diese Geschichte können Sie hier lesen.

3. Die Ganzen Zahlen

Es gibt Temperaturen unter Null: Diese Temperaturwerte haben ein – als Vorzeichen.

Beispiel:

10-3=-3

Wir sagen: –3 hat ein negatives Vorzeichen. –3 ist eine negative Zahl.

Wörter 3

Wir kombinieren eine ganze Zahl und eine natürliche Zahl mit einem Bruchstrich zu einer Bruchzahl.

Beispiele für Bruchzahlen:

\frac{3}{4},\ \frac{-6}{3},\ \frac{8}{10}

Die Zahl oben wird Zähler bezeichnet. Sie kann + positiv oder – negativ sein. Eine ganze Zahl.

Die Zahl unten wird Nenner bezeichnet. Sie gibt die Art des Bruches an und ist immer + positiv. Eine natürliche Zahl.

Ein Bruchstrich ist immer auch ein Divisionszeichen. Sie können jederzeit 3 : 4 berechnen und erhalten meist eine Dezimalzahl – eine Zahl mit Komma. Dezimalzahlen sind Bruchzahlen.

Wir schreiben die Menge aller Bruchzahlen auch so auf:

\mathbb{Q}=\left\{\frac{m}{n}\right\}

m … ganze Zahl (da kann schon mal ein – dabei sein)
n … natürliche Zahl (immer positiv)

Wir lernen in einem späteren Kapitel, mit Bruchzahlen richtig zu rechnen.

Beobachtungen

Bruchzahlen sortieren

\frac{3}{4},\ \frac{-6}{3},\ \frac{8}{10}

\frac{3}{4}=0{,}75\quad\text{und}\quad\frac{-6}{3}=-2\quad\text{und}\quad\frac{8}{10}=0{,}8

–2 < 0,75 < 0,8

Daher:

\frac{-6}{3} < \frac{3}{4} < \frac{8}{10}

Bruchzahlen addieren

Wenn wir Bruchzahlen addieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=\frac{6}{4}

Bruchzahlen subtrahieren

Wenn wir Bruchzahlen subtrahieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}-\frac{5}{4}=\frac{-2}{4}

Bruchzahlen multiplizieren

Wenn wir Bruchzahlen multiplizieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{16}

Bruchzahlen dividieren

Wenn wir Bruchzahlen dividieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{5}{3}:\frac{2}{7}=\frac{5}{3}\cdot\frac{7}{2}=\frac{35}{6}

Wir lernen das im Detail noch später.

Alle natürlichen Zahlen und alle ganzen Zahlen sind gleichzeitig Bruchzahlen. Ihr Nenner ist 1.

Beispiele

3=\frac{3}{1}\\-4=\frac{-4}{1}

Zusammenfassung

Mit den Bruchzahlen kennen wir nun auch die Dezimalzahlen. Dezimalzahlen sind Bruchzahlen. Wir brauchen dazu nur die Brüche zu dividieren.

Wir kennen nun fast alle „Zahlen unseres Lebens“.

Alle natürlichen Zahlen sind auch ganze Zahlen, diese sind auch Bruchzahlen, und diese sind auch reelle Zahlen. Wir schreiben:

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}

$\mathbb{N}$ … Natürliche Zahlen (ohne Komma, + positiv)
Beispiele: 8, 20, 33, 100, 221

$\mathbb{Z}$ … Ganze Zahlen (ohne Komma, + positiv und – negativ)
Beispiele: –12, –5, 0, 7, 150

$\mathbb{I}$ … Irrationale Zahlen (nicht durch Bruch darstellbar, aber Dezimalzahlen)
Beispiele: $\sqrt{2}$ , $\sqrt{5}$ , $\pi$

$\mathbb{R}$ … Reelle Zahlen („Alle unsere Zahlen“)
Beispiele: –23,15, –3, 0, 4/3, $\sqrt{3}$ , 5

Aufgaben

Zu welchen Zahlenmengen gehören die folgenden Zahlen?

1
Lösung

1 ist eine natürliche Zahl, eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
0
Lösung

0 ist eine natürliche Zahl, eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
−3
Lösung

−3 ist eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\frac{8}{5}$

Lösung

$\frac{8}{5}$ ist eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$-\frac{3}{4}$

Lösung

$-\frac{3}{4}$ ist eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\sqrt{5}$

Lösung

$\sqrt{5}$ ist eine irrationale Zahl und eine reelle Zahl.
20,55
Lösung

20,55 ist eine Dezimalzahl und somit eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$-\frac{9}{3}$

Lösung

$-\frac{9}{3}$ ist eine ganze Zahl und eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\frac{20}{10}$

Lösung

$\frac{20}{10}$ ist eine natürliche Zahl und eine ganze Zahl und eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.

5. Größer, kleiner oder gleich?

Setzen Sie das Größer- oder Kleinerzeichen richtig ein. Die Öffnung ist immer bei der großen Seite.

Wörter 5

Addition und Subtraktion

Nachdenken und mit einem Bild vom Thermometer überlegen.

Beispiel: 10 – 13 = –3
Beispiel: –5 + 10 = +5
Beispiel: –5 – 10 = –15

Übung

Zeichnen Sie ein Bild von einem Thermometer zum 2. und 3. Beispiel.

Multiplikation und Division

Gleiche Vorzeichen ergeben +
Ungleiche Vorzeichen ergeben –

+ • + = +
– • – = +
+ • – = –
– • + = –

Beispiel: –5 • 10 = –50
Beispiel: –5 • (–10) = +50

+ / + = +
– / – = +
+ / – = –
– / + = –

Beispiel: –10 / 5 = –2
Beispiel: –10 / (–5) = +2

Hinweise

Statt +2 schreiben wir auch einfach 2.
Statt 5 • –2 schreiben wir lieber 5 • (–2).
+ kann ein Rechenzeichen für die Addition sein oder ein Vorzeichen.
5 + 3 = (Rechenzeichen für die Addition)
+3 = (Vorzeichen für die Zahl 3)
– kann ein Rechenzeichen für die Subtraktion sein oder ein Vorzeichen.
5 – 3 = (Rechenzeichen für die Subtraktion)
–3 = (Vorzeichen für die Zahl Minus Drei)

Übungen

Wörter 7

Der Kontostand beträgt –200 €. Es kommen 500 € dazu. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

+300 € oder einfach 300 €
Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

–400 €
Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?
Lösung

–8° Celsius
Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?
Lösung

+13° Celsius
Wieviel ist –50 • –2?
Lösung

+100 oder einfach 100
Wieviel ist 50 / (–2)?
Lösung

–25
Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?
Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Der Kontostand beträgt –200 €. Es kommen 500 € dazu. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

+300 € oder einfach 300 €
Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

–400 €
Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?
Lösung

–8° Celsius
Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?
Lösung

+13° Celsius
Wieviel ist –50 • –2?
Lösung

+100 oder einfach 100
Wieviel ist 50 / (–2)?
Lösung

–25
Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?
Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Der Kontostand beträgt –200 €. Es kommen 500 € dazu. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

+300 € oder einfach 300 €
Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

–400 €
Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?
Lösung

–8° Celsius
Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?
Lösung

+13° Celsius
Wieviel ist –50 • –2?
Lösung

+100 oder einfach 100
Wieviel ist 50 / (–2)?
Lösung

–25
Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?
Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Mit Zahlen beginnt die Reise in die Welt der Mathematik. Wer Zahlen unterscheiden kann, bestimmt, wohin die Reise geht.

Wörter 1

Mit natürlichen Zahlen können Sie das Alter von Menschen angeben.
Mit natürlichen Zahlen können Sie die Anzahl Ihrer Freunde angeben.
Mit natürlichen Zahlen können Sie alles Mögliche zählen.
Natürliche Zahlen haben kein Komma. Es gibt keine halben natürlichen Zahlen.

Beobachtungen

Wir können die natürlichen Zahlen der Größe nach sortieren: 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 < 7 < 8 < 9 < …
Wenn wir natürliche Zahlen addieren, dann erhalten wir wieder eine natürliche Zahl: 13 + 6 = 19
Wenn wir natürliche Zahlen multiplizieren, dann erhalten wir wieder eine natürliche Zahl: 2 • 9 = 18

Vermutung

Wenn wir natürliche Zahlen subtrahieren, erhalten wir wieder eine natürliche Zahl?
17 – 6 = 11 … die Vermutung ist richtig.

10 – 13 = ? … die Vermutung ist falsch. Es gibt keine natürlichen Zahlen unter 0.

Wir erinnern uns

Es gibt eine Temperatur unter 0. Es hat 10 Grad, und es wird um 13° kälter. Das Thermometer zeigt die Lösungen des Problems: Es hat –3°.

Die Null wird erst seit kurzem zu den natürlichen Zahlen gezählt. Möchten Sie wissen, wie die Null zu den natürlichen Zahlen gekommen ist? Diese Geschichte können Sie hier lesen.

3. Die Ganzen Zahlen

Es gibt Temperaturen unter Null: Diese Temperaturwerte haben ein – als Vorzeichen.

Beispiel:

10-3=-3

Wir sagen: –3 hat ein negatives Vorzeichen. –3 ist eine negative Zahl.

Wörter 3

Wir kombinieren eine ganze Zahl und eine natürliche Zahl mit einem Bruchstrich zu einer Bruchzahl.

Beispiele für Bruchzahlen:

\frac{3}{4},\ \frac{-6}{3},\ \frac{8}{10}

Die Zahl oben wird Zähler bezeichnet. Sie kann + positiv oder – negativ sein. Eine ganze Zahl.

Die Zahl unten wird Nenner bezeichnet. Sie gibt die Art des Bruches an und ist immer + positiv. Eine natürliche Zahl.

Ein Bruchstrich ist immer auch ein Divisionszeichen. Sie können jederzeit 3 : 4 berechnen und erhalten meist eine Dezimalzahl – eine Zahl mit Komma. Dezimalzahlen sind Bruchzahlen.

Wir schreiben die Menge aller Bruchzahlen auch so auf:

\mathbb{Q}=\left\{\frac{m}{n}\right\}

m … ganze Zahl (da kann schon mal ein – dabei sein)
n … natürliche Zahl (immer positiv)

Wir lernen in einem späteren Kapitel, mit Bruchzahlen richtig zu rechnen.

Beobachtungen

Bruchzahlen sortieren

\frac{3}{4},\ \frac{-6}{3},\ \frac{8}{10}

\frac{3}{4}=0{,}75\quad\text{und}\quad\frac{-6}{3}=-2\quad\text{und}\quad\frac{8}{10}=0{,}8

–2 < 0,75 < 0,8

Daher:

\frac{-6}{3} < \frac{3}{4} < \frac{8}{10}

Bruchzahlen addieren

Wenn wir Bruchzahlen addieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=\frac{6}{4}

Bruchzahlen subtrahieren

Wenn wir Bruchzahlen subtrahieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}-\frac{5}{4}=\frac{-2}{4}

Bruchzahlen multiplizieren

Wenn wir Bruchzahlen multiplizieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{16}

Bruchzahlen dividieren

Wenn wir Bruchzahlen dividieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{5}{3}:\frac{2}{7}=\frac{5}{3}\cdot\frac{7}{2}=\frac{35}{6}

Wir lernen das im Detail noch später.

Alle natürlichen Zahlen und alle ganzen Zahlen sind gleichzeitig Bruchzahlen. Ihr Nenner ist 1.

Beispiele

3=\frac{3}{1}\\-4=\frac{-4}{1}

Zusammenfassung

Mit den Bruchzahlen kennen wir nun auch die Dezimalzahlen. Dezimalzahlen sind Bruchzahlen. Wir brauchen dazu nur die Brüche zu dividieren.

Wir kennen nun fast alle „Zahlen unseres Lebens“.

Alle natürlichen Zahlen sind auch ganze Zahlen, diese sind auch Bruchzahlen, und diese sind auch reelle Zahlen. Wir schreiben:

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}

$\mathbb{N}$ … Natürliche Zahlen (ohne Komma, + positiv)
Beispiele: 8, 20, 33, 100, 221

$\mathbb{Z}$ … Ganze Zahlen (ohne Komma, + positiv und – negativ)
Beispiele: –12, –5, 0, 7, 150

$\mathbb{I}$ … Irrationale Zahlen (nicht durch Bruch darstellbar, aber Dezimalzahlen)
Beispiele: $\sqrt{2}$ , $\sqrt{5}$ , $\pi$

$\mathbb{R}$ … Reelle Zahlen („Alle unsere Zahlen“)
Beispiele: –23,15, –3, 0, 4/3, $\sqrt{3}$ , 5

Aufgaben

Zu welchen Zahlenmengen gehören die folgenden Zahlen?

1
Lösung

1 ist eine natürliche Zahl, eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
0
Lösung

0 ist eine natürliche Zahl, eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
−3
Lösung

−3 ist eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\frac{8}{5}$

Lösung

$\frac{8}{5}$ ist eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$-\frac{3}{4}$

Lösung

$-\frac{3}{4}$ ist eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\sqrt{5}$

Lösung

$\sqrt{5}$ ist eine irrationale Zahl und eine reelle Zahl.
20,55
Lösung

20,55 ist eine Dezimalzahl und somit eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$-\frac{9}{3}$

Lösung

$-\frac{9}{3}$ ist eine ganze Zahl und eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\frac{20}{10}$

Lösung

$\frac{20}{10}$ ist eine natürliche Zahl und eine ganze Zahl und eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.

5. Größer, kleiner oder gleich?

Setzen Sie das Größer- oder Kleinerzeichen richtig ein. Die Öffnung ist immer bei der großen Seite.

Wörter 5

Addition und Subtraktion

Nachdenken und mit einem Bild vom Thermometer überlegen.

Beispiel: 10 – 13 = –3
Beispiel: –5 + 10 = +5
Beispiel: –5 – 10 = –15

Übung

Zeichnen Sie ein Bild von einem Thermometer zum 2. und 3. Beispiel.

Multiplikation und Division

Gleiche Vorzeichen ergeben +
Ungleiche Vorzeichen ergeben –

+ • + = +
– • – = +
+ • – = –
– • + = –

Beispiel: –5 • 10 = –50
Beispiel: –5 • (–10) = +50

+ / + = +
– / – = +
+ / – = –
– / + = –

Beispiel: –10 / 5 = –2
Beispiel: –10 / (–5) = +2

Hinweise

Statt +2 schreiben wir auch einfach 2.
Statt 5 • –2 schreiben wir lieber 5 • (–2).
+ kann ein Rechenzeichen für die Addition sein oder ein Vorzeichen.
5 + 3 = (Rechenzeichen für die Addition)
+3 = (Vorzeichen für die Zahl 3)
– kann ein Rechenzeichen für die Subtraktion sein oder ein Vorzeichen.
5 – 3 = (Rechenzeichen für die Subtraktion)
–3 = (Vorzeichen für die Zahl Minus Drei)

Übungen

Wörter 7

Der Kontostand beträgt –200 €. Es kommen 500 € dazu. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

+300 € oder einfach 300 €
Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

–400 €
Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?
Lösung

–8° Celsius
Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?
Lösung

+13° Celsius
Wieviel ist –50 • –2?
Lösung

+100 oder einfach 100
Wieviel ist 50 / (–2)?
Lösung

–25
Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?
Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?

Lösung

+13° Celsius

Wieviel ist –50 • –2?

Lösung

+100 oder einfach 100

Wieviel ist 50 / (–2)?

Lösung

–25

Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?

Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Der Kontostand beträgt –200 €. Es kommen 500 € dazu. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

+300 € oder einfach 300 €
Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

–400 €
Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?
Lösung

–8° Celsius
Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?
Lösung

+13° Celsius
Wieviel ist –50 • –2?
Lösung

+100 oder einfach 100
Wieviel ist 50 / (–2)?
Lösung

–25
Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?
Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Der Kontostand beträgt –200 €. Es kommen 500 € dazu. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

+300 € oder einfach 300 €
Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

–400 €
Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?
Lösung

–8° Celsius
Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?
Lösung

+13° Celsius
Wieviel ist –50 • –2?
Lösung

+100 oder einfach 100
Wieviel ist 50 / (–2)?
Lösung

–25
Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?
Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Mit Zahlen beginnt die Reise in die Welt der Mathematik. Wer Zahlen unterscheiden kann, bestimmt, wohin die Reise geht.

Wörter 1

Mit natürlichen Zahlen können Sie das Alter von Menschen angeben.
Mit natürlichen Zahlen können Sie die Anzahl Ihrer Freunde angeben.
Mit natürlichen Zahlen können Sie alles Mögliche zählen.
Natürliche Zahlen haben kein Komma. Es gibt keine halben natürlichen Zahlen.

Beobachtungen

Wir können die natürlichen Zahlen der Größe nach sortieren: 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 < 7 < 8 < 9 < …
Wenn wir natürliche Zahlen addieren, dann erhalten wir wieder eine natürliche Zahl: 13 + 6 = 19
Wenn wir natürliche Zahlen multiplizieren, dann erhalten wir wieder eine natürliche Zahl: 2 • 9 = 18

Vermutung

Wenn wir natürliche Zahlen subtrahieren, erhalten wir wieder eine natürliche Zahl?
17 – 6 = 11 … die Vermutung ist richtig.

10 – 13 = ? … die Vermutung ist falsch. Es gibt keine natürlichen Zahlen unter 0.

Wir erinnern uns

Es gibt eine Temperatur unter 0. Es hat 10 Grad, und es wird um 13° kälter. Das Thermometer zeigt die Lösungen des Problems: Es hat –3°.

Die Null wird erst seit kurzem zu den natürlichen Zahlen gezählt. Möchten Sie wissen, wie die Null zu den natürlichen Zahlen gekommen ist? Diese Geschichte können Sie hier lesen.

3. Die Ganzen Zahlen

Es gibt Temperaturen unter Null: Diese Temperaturwerte haben ein – als Vorzeichen.

Beispiel:

10-3=-3

Wir sagen: –3 hat ein negatives Vorzeichen. –3 ist eine negative Zahl.

Wörter 3

Wir kombinieren eine ganze Zahl und eine natürliche Zahl mit einem Bruchstrich zu einer Bruchzahl.

Beispiele für Bruchzahlen:

\frac{3}{4},\ \frac{-6}{3},\ \frac{8}{10}

Die Zahl oben wird Zähler bezeichnet. Sie kann + positiv oder – negativ sein. Eine ganze Zahl.

Die Zahl unten wird Nenner bezeichnet. Sie gibt die Art des Bruches an und ist immer + positiv. Eine natürliche Zahl.

Ein Bruchstrich ist immer auch ein Divisionszeichen. Sie können jederzeit 3 : 4 berechnen und erhalten meist eine Dezimalzahl – eine Zahl mit Komma. Dezimalzahlen sind Bruchzahlen.

Wir schreiben die Menge aller Bruchzahlen auch so auf:

\mathbb{Q}=\left\{\frac{m}{n}\right\}

m … ganze Zahl (da kann schon mal ein – dabei sein)
n … natürliche Zahl (immer positiv)

Wir lernen in einem späteren Kapitel, mit Bruchzahlen richtig zu rechnen.

Beobachtungen

Bruchzahlen sortieren

\frac{3}{4},\ \frac{-6}{3},\ \frac{8}{10}

\frac{3}{4}=0{,}75\quad\text{und}\quad\frac{-6}{3}=-2\quad\text{und}\quad\frac{8}{10}=0{,}8

–2 < 0,75 < 0,8

Daher:

\frac{-6}{3} < \frac{3}{4} < \frac{8}{10}

Bruchzahlen addieren

Wenn wir Bruchzahlen addieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=\frac{6}{4}

Bruchzahlen subtrahieren

Wenn wir Bruchzahlen subtrahieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}-\frac{5}{4}=\frac{-2}{4}

Bruchzahlen multiplizieren

Wenn wir Bruchzahlen multiplizieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{16}

Bruchzahlen dividieren

Wenn wir Bruchzahlen dividieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{5}{3}:\frac{2}{7}=\frac{5}{3}\cdot\frac{7}{2}=\frac{35}{6}

Wir lernen das im Detail noch später.

Alle natürlichen Zahlen und alle ganzen Zahlen sind gleichzeitig Bruchzahlen. Ihr Nenner ist 1.

Beispiele

3=\frac{3}{1}\\-4=\frac{-4}{1}

Zusammenfassung

Mit den Bruchzahlen kennen wir nun auch die Dezimalzahlen. Dezimalzahlen sind Bruchzahlen. Wir brauchen dazu nur die Brüche zu dividieren.

Wir kennen nun fast alle „Zahlen unseres Lebens“.

Alle natürlichen Zahlen sind auch ganze Zahlen, diese sind auch Bruchzahlen, und diese sind auch reelle Zahlen. Wir schreiben:

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}

$\mathbb{N}$ … Natürliche Zahlen (ohne Komma, + positiv)
Beispiele: 8, 20, 33, 100, 221

$\mathbb{Z}$ … Ganze Zahlen (ohne Komma, + positiv und – negativ)
Beispiele: –12, –5, 0, 7, 150

$\mathbb{I}$ … Irrationale Zahlen (nicht durch Bruch darstellbar, aber Dezimalzahlen)
Beispiele: $\sqrt{2}$ , $\sqrt{5}$ , $\pi$

$\mathbb{R}$ … Reelle Zahlen („Alle unsere Zahlen“)
Beispiele: –23,15, –3, 0, 4/3, $\sqrt{3}$ , 5

Aufgaben

Zu welchen Zahlenmengen gehören die folgenden Zahlen?

1
Lösung

1 ist eine natürliche Zahl, eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
0
Lösung

0 ist eine natürliche Zahl, eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
−3
Lösung

−3 ist eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\frac{8}{5}$

Lösung

$\frac{8}{5}$ ist eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$-\frac{3}{4}$

Lösung

$-\frac{3}{4}$ ist eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\sqrt{5}$

Lösung

$\sqrt{5}$ ist eine irrationale Zahl und eine reelle Zahl.
20,55
Lösung

20,55 ist eine Dezimalzahl und somit eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$-\frac{9}{3}$

Lösung

$-\frac{9}{3}$ ist eine ganze Zahl und eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\frac{20}{10}$

Lösung

$\frac{20}{10}$ ist eine natürliche Zahl und eine ganze Zahl und eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.

5. Größer, kleiner oder gleich?

Setzen Sie das Größer- oder Kleinerzeichen richtig ein. Die Öffnung ist immer bei der großen Seite.

Wörter 5

Addition und Subtraktion

Nachdenken und mit einem Bild vom Thermometer überlegen.

Beispiel: 10 – 13 = –3
Beispiel: –5 + 10 = +5
Beispiel: –5 – 10 = –15

Übung

Zeichnen Sie ein Bild von einem Thermometer zum 2. und 3. Beispiel.

Multiplikation und Division

Gleiche Vorzeichen ergeben +
Ungleiche Vorzeichen ergeben –

+ • + = +
– • – = +
+ • – = –
– • + = –

Beispiel: –5 • 10 = –50
Beispiel: –5 • (–10) = +50

+ / + = +
– / – = +
+ / – = –
– / + = –

Beispiel: –10 / 5 = –2
Beispiel: –10 / (–5) = +2

Hinweise

Statt +2 schreiben wir auch einfach 2.
Statt 5 • –2 schreiben wir lieber 5 • (–2).
+ kann ein Rechenzeichen für die Addition sein oder ein Vorzeichen.
5 + 3 = (Rechenzeichen für die Addition)
+3 = (Vorzeichen für die Zahl 3)
– kann ein Rechenzeichen für die Subtraktion sein oder ein Vorzeichen.
5 – 3 = (Rechenzeichen für die Subtraktion)
–3 = (Vorzeichen für die Zahl Minus Drei)

Übungen

Wörter 7

Der Kontostand beträgt –200 €. Es kommen 500 € dazu. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

+300 € oder einfach 300 €
Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

–400 €
Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?
Lösung

–8° Celsius
Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?
Lösung

+13° Celsius
Wieviel ist –50 • –2?
Lösung

+100 oder einfach 100
Wieviel ist 50 / (–2)?
Lösung

–25
Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?
Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?

Lösung

–8° Celsius

Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?

Lösung

+13° Celsius

Wieviel ist –50 • –2?

Lösung

+100 oder einfach 100

Wieviel ist 50 / (–2)?

Lösung

–25

Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?

Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Der Kontostand beträgt –200 €. Es kommen 500 € dazu. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

+300 € oder einfach 300 €
Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

–400 €
Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?
Lösung

–8° Celsius
Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?
Lösung

+13° Celsius
Wieviel ist –50 • –2?
Lösung

+100 oder einfach 100
Wieviel ist 50 / (–2)?
Lösung

–25
Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?
Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Der Kontostand beträgt –200 €. Es kommen 500 € dazu. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

+300 € oder einfach 300 €
Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

–400 €
Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?
Lösung

–8° Celsius
Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?
Lösung

+13° Celsius
Wieviel ist –50 • –2?
Lösung

+100 oder einfach 100
Wieviel ist 50 / (–2)?
Lösung

–25
Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?
Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Mit Zahlen beginnt die Reise in die Welt der Mathematik. Wer Zahlen unterscheiden kann, bestimmt, wohin die Reise geht.

Wörter 1

Mit natürlichen Zahlen können Sie das Alter von Menschen angeben.
Mit natürlichen Zahlen können Sie die Anzahl Ihrer Freunde angeben.
Mit natürlichen Zahlen können Sie alles Mögliche zählen.
Natürliche Zahlen haben kein Komma. Es gibt keine halben natürlichen Zahlen.

Beobachtungen

Wir können die natürlichen Zahlen der Größe nach sortieren: 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 < 7 < 8 < 9 < …
Wenn wir natürliche Zahlen addieren, dann erhalten wir wieder eine natürliche Zahl: 13 + 6 = 19
Wenn wir natürliche Zahlen multiplizieren, dann erhalten wir wieder eine natürliche Zahl: 2 • 9 = 18

Vermutung

Wenn wir natürliche Zahlen subtrahieren, erhalten wir wieder eine natürliche Zahl?
17 – 6 = 11 … die Vermutung ist richtig.

10 – 13 = ? … die Vermutung ist falsch. Es gibt keine natürlichen Zahlen unter 0.

Wir erinnern uns

Es gibt eine Temperatur unter 0. Es hat 10 Grad, und es wird um 13° kälter. Das Thermometer zeigt die Lösungen des Problems: Es hat –3°.

Die Null wird erst seit kurzem zu den natürlichen Zahlen gezählt. Möchten Sie wissen, wie die Null zu den natürlichen Zahlen gekommen ist? Diese Geschichte können Sie hier lesen.

3. Die Ganzen Zahlen

Es gibt Temperaturen unter Null: Diese Temperaturwerte haben ein – als Vorzeichen.

Beispiel:

10-3=-3

Wir sagen: –3 hat ein negatives Vorzeichen. –3 ist eine negative Zahl.

Wörter 3

Wir kombinieren eine ganze Zahl und eine natürliche Zahl mit einem Bruchstrich zu einer Bruchzahl.

Beispiele für Bruchzahlen:

\frac{3}{4},\ \frac{-6}{3},\ \frac{8}{10}

Die Zahl oben wird Zähler bezeichnet. Sie kann + positiv oder – negativ sein. Eine ganze Zahl.

Die Zahl unten wird Nenner bezeichnet. Sie gibt die Art des Bruches an und ist immer + positiv. Eine natürliche Zahl.

Ein Bruchstrich ist immer auch ein Divisionszeichen. Sie können jederzeit 3 : 4 berechnen und erhalten meist eine Dezimalzahl – eine Zahl mit Komma. Dezimalzahlen sind Bruchzahlen.

Wir schreiben die Menge aller Bruchzahlen auch so auf:

\mathbb{Q}=\left\{\frac{m}{n}\right\}

m … ganze Zahl (da kann schon mal ein – dabei sein)
n … natürliche Zahl (immer positiv)

Wir lernen in einem späteren Kapitel, mit Bruchzahlen richtig zu rechnen.

Beobachtungen

Bruchzahlen sortieren

\frac{3}{4},\ \frac{-6}{3},\ \frac{8}{10}

\frac{3}{4}=0{,}75\quad\text{und}\quad\frac{-6}{3}=-2\quad\text{und}\quad\frac{8}{10}=0{,}8

–2 < 0,75 < 0,8

Daher:

\frac{-6}{3} < \frac{3}{4} < \frac{8}{10}

Bruchzahlen addieren

Wenn wir Bruchzahlen addieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=\frac{6}{4}

Bruchzahlen subtrahieren

Wenn wir Bruchzahlen subtrahieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}-\frac{5}{4}=\frac{-2}{4}

Bruchzahlen multiplizieren

Wenn wir Bruchzahlen multiplizieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{16}

Bruchzahlen dividieren

Wenn wir Bruchzahlen dividieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{5}{3}:\frac{2}{7}=\frac{5}{3}\cdot\frac{7}{2}=\frac{35}{6}

Wir lernen das im Detail noch später.

Alle natürlichen Zahlen und alle ganzen Zahlen sind gleichzeitig Bruchzahlen. Ihr Nenner ist 1.

Beispiele

3=\frac{3}{1}\\-4=\frac{-4}{1}

Zusammenfassung

Mit den Bruchzahlen kennen wir nun auch die Dezimalzahlen. Dezimalzahlen sind Bruchzahlen. Wir brauchen dazu nur die Brüche zu dividieren.

Wir kennen nun fast alle „Zahlen unseres Lebens“.

Alle natürlichen Zahlen sind auch ganze Zahlen, diese sind auch Bruchzahlen, und diese sind auch reelle Zahlen. Wir schreiben:

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}

$\mathbb{N}$ … Natürliche Zahlen (ohne Komma, + positiv)
Beispiele: 8, 20, 33, 100, 221

$\mathbb{Z}$ … Ganze Zahlen (ohne Komma, + positiv und – negativ)
Beispiele: –12, –5, 0, 7, 150

$\mathbb{I}$ … Irrationale Zahlen (nicht durch Bruch darstellbar, aber Dezimalzahlen)
Beispiele: $\sqrt{2}$ , $\sqrt{5}$ , $\pi$

$\mathbb{R}$ … Reelle Zahlen („Alle unsere Zahlen“)
Beispiele: –23,15, –3, 0, 4/3, $\sqrt{3}$ , 5

Aufgaben

Zu welchen Zahlenmengen gehören die folgenden Zahlen?

1
Lösung

1 ist eine natürliche Zahl, eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
0
Lösung

0 ist eine natürliche Zahl, eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
−3
Lösung

−3 ist eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\frac{8}{5}$

Lösung

$\frac{8}{5}$ ist eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$-\frac{3}{4}$

Lösung

$-\frac{3}{4}$ ist eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\sqrt{5}$

Lösung

$\sqrt{5}$ ist eine irrationale Zahl und eine reelle Zahl.
20,55
Lösung

20,55 ist eine Dezimalzahl und somit eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$-\frac{9}{3}$

Lösung

$-\frac{9}{3}$ ist eine ganze Zahl und eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\frac{20}{10}$

Lösung

$\frac{20}{10}$ ist eine natürliche Zahl und eine ganze Zahl und eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.

5. Größer, kleiner oder gleich?

Setzen Sie das Größer- oder Kleinerzeichen richtig ein. Die Öffnung ist immer bei der großen Seite.

Wörter 5

Addition und Subtraktion

Nachdenken und mit einem Bild vom Thermometer überlegen.

Beispiel: 10 – 13 = –3
Beispiel: –5 + 10 = +5
Beispiel: –5 – 10 = –15

Übung

Zeichnen Sie ein Bild von einem Thermometer zum 2. und 3. Beispiel.

Multiplikation und Division

Gleiche Vorzeichen ergeben +
Ungleiche Vorzeichen ergeben –

+ • + = +
– • – = +
+ • – = –
– • + = –

Beispiel: –5 • 10 = –50
Beispiel: –5 • (–10) = +50

+ / + = +
– / – = +
+ / – = –
– / + = –

Beispiel: –10 / 5 = –2
Beispiel: –10 / (–5) = +2

Hinweise

Statt +2 schreiben wir auch einfach 2.
Statt 5 • –2 schreiben wir lieber 5 • (–2).
+ kann ein Rechenzeichen für die Addition sein oder ein Vorzeichen.
5 + 3 = (Rechenzeichen für die Addition)
+3 = (Vorzeichen für die Zahl 3)
– kann ein Rechenzeichen für die Subtraktion sein oder ein Vorzeichen.
5 – 3 = (Rechenzeichen für die Subtraktion)
–3 = (Vorzeichen für die Zahl Minus Drei)

Übungen

Wörter 7

Der Kontostand beträgt –200 €. Es kommen 500 € dazu. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

+300 € oder einfach 300 €
Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

–400 €
Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?
Lösung

–8° Celsius
Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?
Lösung

+13° Celsius
Wieviel ist –50 • –2?
Lösung

+100 oder einfach 100
Wieviel ist 50 / (–2)?
Lösung

–25
Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?
Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?

Lösung

–400 €

Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?

Lösung

–8° Celsius

Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?

Lösung

+13° Celsius

Wieviel ist –50 • –2?

Lösung

+100 oder einfach 100

Wieviel ist 50 / (–2)?

Lösung

–25

Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?

Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Der Kontostand beträgt –200 €. Es kommen 500 € dazu. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

+300 € oder einfach 300 €
Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

–400 €
Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?
Lösung

–8° Celsius
Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?
Lösung

+13° Celsius
Wieviel ist –50 • –2?
Lösung

+100 oder einfach 100
Wieviel ist 50 / (–2)?
Lösung

–25
Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?
Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Der Kontostand beträgt –200 €. Es kommen 500 € dazu. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

+300 € oder einfach 300 €
Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

–400 €
Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?
Lösung

–8° Celsius
Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?
Lösung

+13° Celsius
Wieviel ist –50 • –2?
Lösung

+100 oder einfach 100
Wieviel ist 50 / (–2)?
Lösung

–25
Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?
Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Mit Zahlen beginnt die Reise in die Welt der Mathematik. Wer Zahlen unterscheiden kann, bestimmt, wohin die Reise geht.

Wörter 1

Mit natürlichen Zahlen können Sie das Alter von Menschen angeben.
Mit natürlichen Zahlen können Sie die Anzahl Ihrer Freunde angeben.
Mit natürlichen Zahlen können Sie alles Mögliche zählen.
Natürliche Zahlen haben kein Komma. Es gibt keine halben natürlichen Zahlen.

Beobachtungen

Wir können die natürlichen Zahlen der Größe nach sortieren: 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 < 7 < 8 < 9 < …
Wenn wir natürliche Zahlen addieren, dann erhalten wir wieder eine natürliche Zahl: 13 + 6 = 19
Wenn wir natürliche Zahlen multiplizieren, dann erhalten wir wieder eine natürliche Zahl: 2 • 9 = 18

Vermutung

Wenn wir natürliche Zahlen subtrahieren, erhalten wir wieder eine natürliche Zahl?
17 – 6 = 11 … die Vermutung ist richtig.

10 – 13 = ? … die Vermutung ist falsch. Es gibt keine natürlichen Zahlen unter 0.

Wir erinnern uns

Es gibt eine Temperatur unter 0. Es hat 10 Grad, und es wird um 13° kälter. Das Thermometer zeigt die Lösungen des Problems: Es hat –3°.

Die Null wird erst seit kurzem zu den natürlichen Zahlen gezählt. Möchten Sie wissen, wie die Null zu den natürlichen Zahlen gekommen ist? Diese Geschichte können Sie hier lesen.

3. Die Ganzen Zahlen

Es gibt Temperaturen unter Null: Diese Temperaturwerte haben ein – als Vorzeichen.

Beispiel:

10-3=-3

Wir sagen: –3 hat ein negatives Vorzeichen. –3 ist eine negative Zahl.

Wörter 3

Wir kombinieren eine ganze Zahl und eine natürliche Zahl mit einem Bruchstrich zu einer Bruchzahl.

Beispiele für Bruchzahlen:

\frac{3}{4},\ \frac{-6}{3},\ \frac{8}{10}

Die Zahl oben wird Zähler bezeichnet. Sie kann + positiv oder – negativ sein. Eine ganze Zahl.

Die Zahl unten wird Nenner bezeichnet. Sie gibt die Art des Bruches an und ist immer + positiv. Eine natürliche Zahl.

Ein Bruchstrich ist immer auch ein Divisionszeichen. Sie können jederzeit 3 : 4 berechnen und erhalten meist eine Dezimalzahl – eine Zahl mit Komma. Dezimalzahlen sind Bruchzahlen.

Wir schreiben die Menge aller Bruchzahlen auch so auf:

\mathbb{Q}=\left\{\frac{m}{n}\right\}

m … ganze Zahl (da kann schon mal ein – dabei sein)
n … natürliche Zahl (immer positiv)

Wir lernen in einem späteren Kapitel, mit Bruchzahlen richtig zu rechnen.

Beobachtungen

Bruchzahlen sortieren

\frac{3}{4},\ \frac{-6}{3},\ \frac{8}{10}

\frac{3}{4}=0{,}75\quad\text{und}\quad\frac{-6}{3}=-2\quad\text{und}\quad\frac{8}{10}=0{,}8

–2 < 0,75 < 0,8

Daher:

\frac{-6}{3} < \frac{3}{4} < \frac{8}{10}

Bruchzahlen addieren

Wenn wir Bruchzahlen addieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=\frac{6}{4}

Bruchzahlen subtrahieren

Wenn wir Bruchzahlen subtrahieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}-\frac{5}{4}=\frac{-2}{4}

Bruchzahlen multiplizieren

Wenn wir Bruchzahlen multiplizieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{16}

Bruchzahlen dividieren

Wenn wir Bruchzahlen dividieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{5}{3}:\frac{2}{7}=\frac{5}{3}\cdot\frac{7}{2}=\frac{35}{6}

Wir lernen das im Detail noch später.

Alle natürlichen Zahlen und alle ganzen Zahlen sind gleichzeitig Bruchzahlen. Ihr Nenner ist 1.

Beispiele

3=\frac{3}{1}\\-4=\frac{-4}{1}

Zusammenfassung

Mit den Bruchzahlen kennen wir nun auch die Dezimalzahlen. Dezimalzahlen sind Bruchzahlen. Wir brauchen dazu nur die Brüche zu dividieren.

Wir kennen nun fast alle „Zahlen unseres Lebens“.

Alle natürlichen Zahlen sind auch ganze Zahlen, diese sind auch Bruchzahlen, und diese sind auch reelle Zahlen. Wir schreiben:

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}

$\mathbb{N}$ … Natürliche Zahlen (ohne Komma, + positiv)
Beispiele: 8, 20, 33, 100, 221

$\mathbb{Z}$ … Ganze Zahlen (ohne Komma, + positiv und – negativ)
Beispiele: –12, –5, 0, 7, 150

$\mathbb{I}$ … Irrationale Zahlen (nicht durch Bruch darstellbar, aber Dezimalzahlen)
Beispiele: $\sqrt{2}$ , $\sqrt{5}$ , $\pi$

$\mathbb{R}$ … Reelle Zahlen („Alle unsere Zahlen“)
Beispiele: –23,15, –3, 0, 4/3, $\sqrt{3}$ , 5

Aufgaben

Zu welchen Zahlenmengen gehören die folgenden Zahlen?

1
Lösung

1 ist eine natürliche Zahl, eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
0
Lösung

0 ist eine natürliche Zahl, eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
−3
Lösung

−3 ist eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\frac{8}{5}$

Lösung

$\frac{8}{5}$ ist eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$-\frac{3}{4}$

Lösung

$-\frac{3}{4}$ ist eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\sqrt{5}$

Lösung

$\sqrt{5}$ ist eine irrationale Zahl und eine reelle Zahl.
20,55
Lösung

20,55 ist eine Dezimalzahl und somit eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$-\frac{9}{3}$

Lösung

$-\frac{9}{3}$ ist eine ganze Zahl und eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\frac{20}{10}$

Lösung

$\frac{20}{10}$ ist eine natürliche Zahl und eine ganze Zahl und eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.

5. Größer, kleiner oder gleich?

Setzen Sie das Größer- oder Kleinerzeichen richtig ein. Die Öffnung ist immer bei der großen Seite.

Wörter 5

Addition und Subtraktion

Nachdenken und mit einem Bild vom Thermometer überlegen.

Beispiel: 10 – 13 = –3
Beispiel: –5 + 10 = +5
Beispiel: –5 – 10 = –15

Übung

Zeichnen Sie ein Bild von einem Thermometer zum 2. und 3. Beispiel.

Multiplikation und Division

Gleiche Vorzeichen ergeben +
Ungleiche Vorzeichen ergeben –

+ • + = +
– • – = +
+ • – = –
– • + = –

Beispiel: –5 • 10 = –50
Beispiel: –5 • (–10) = +50

+ / + = +
– / – = +
+ / – = –
– / + = –

Beispiel: –10 / 5 = –2
Beispiel: –10 / (–5) = +2

Hinweise

Statt +2 schreiben wir auch einfach 2.
Statt 5 • –2 schreiben wir lieber 5 • (–2).
+ kann ein Rechenzeichen für die Addition sein oder ein Vorzeichen.
5 + 3 = (Rechenzeichen für die Addition)
+3 = (Vorzeichen für die Zahl 3)
– kann ein Rechenzeichen für die Subtraktion sein oder ein Vorzeichen.
5 – 3 = (Rechenzeichen für die Subtraktion)
–3 = (Vorzeichen für die Zahl Minus Drei)

Übungen

Wörter 7

Der Kontostand beträgt –200 €. Es kommen 500 € dazu. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

+300 € oder einfach 300 €
Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

–400 €
Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?
Lösung

–8° Celsius
Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?
Lösung

+13° Celsius
Wieviel ist –50 • –2?
Lösung

+100 oder einfach 100
Wieviel ist 50 / (–2)?
Lösung

–25
Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?
Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?

Lösung

+13° Celsius

Wieviel ist –50 • –2?

Lösung

+100 oder einfach 100

Wieviel ist 50 / (–2)?

Lösung

–25

Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?

Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?

Lösung

–400 €

Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?

Lösung

–8° Celsius

Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?

Lösung

+13° Celsius

Wieviel ist –50 • –2?

Lösung

+100 oder einfach 100

Wieviel ist 50 / (–2)?

Lösung

–25

Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?

Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Der Kontostand beträgt –200 €. Es kommen 500 € dazu. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

+300 € oder einfach 300 €
Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

–400 €
Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?
Lösung

–8° Celsius
Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?
Lösung

+13° Celsius
Wieviel ist –50 • –2?
Lösung

+100 oder einfach 100
Wieviel ist 50 / (–2)?
Lösung

–25
Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?
Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Der Kontostand beträgt –200 €. Es kommen 500 € dazu. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

+300 € oder einfach 300 €
Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

–400 €
Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?
Lösung

–8° Celsius
Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?
Lösung

+13° Celsius
Wieviel ist –50 • –2?
Lösung

+100 oder einfach 100
Wieviel ist 50 / (–2)?
Lösung

–25
Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?
Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Mit Zahlen beginnt die Reise in die Welt der Mathematik. Wer Zahlen unterscheiden kann, bestimmt, wohin die Reise geht.

Wörter 1

Mit natürlichen Zahlen können Sie das Alter von Menschen angeben.
Mit natürlichen Zahlen können Sie die Anzahl Ihrer Freunde angeben.
Mit natürlichen Zahlen können Sie alles Mögliche zählen.
Natürliche Zahlen haben kein Komma. Es gibt keine halben natürlichen Zahlen.

Beobachtungen

Wir können die natürlichen Zahlen der Größe nach sortieren: 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 < 7 < 8 < 9 < …
Wenn wir natürliche Zahlen addieren, dann erhalten wir wieder eine natürliche Zahl: 13 + 6 = 19
Wenn wir natürliche Zahlen multiplizieren, dann erhalten wir wieder eine natürliche Zahl: 2 • 9 = 18

Vermutung

Wenn wir natürliche Zahlen subtrahieren, erhalten wir wieder eine natürliche Zahl?
17 – 6 = 11 … die Vermutung ist richtig.

10 – 13 = ? … die Vermutung ist falsch. Es gibt keine natürlichen Zahlen unter 0.

Wir erinnern uns

Es gibt eine Temperatur unter 0. Es hat 10 Grad, und es wird um 13° kälter. Das Thermometer zeigt die Lösungen des Problems: Es hat –3°.

Die Null wird erst seit kurzem zu den natürlichen Zahlen gezählt. Möchten Sie wissen, wie die Null zu den natürlichen Zahlen gekommen ist? Diese Geschichte können Sie hier lesen.

3. Die Ganzen Zahlen

Es gibt Temperaturen unter Null: Diese Temperaturwerte haben ein – als Vorzeichen.

Beispiel:

10-3=-3

Wir sagen: –3 hat ein negatives Vorzeichen. –3 ist eine negative Zahl.

Wörter 3

Wir kombinieren eine ganze Zahl und eine natürliche Zahl mit einem Bruchstrich zu einer Bruchzahl.

Beispiele für Bruchzahlen:

\frac{3}{4},\ \frac{-6}{3},\ \frac{8}{10}

Die Zahl oben wird Zähler bezeichnet. Sie kann + positiv oder – negativ sein. Eine ganze Zahl.

Die Zahl unten wird Nenner bezeichnet. Sie gibt die Art des Bruches an und ist immer + positiv. Eine natürliche Zahl.

Ein Bruchstrich ist immer auch ein Divisionszeichen. Sie können jederzeit 3 : 4 berechnen und erhalten meist eine Dezimalzahl – eine Zahl mit Komma. Dezimalzahlen sind Bruchzahlen.

Wir schreiben die Menge aller Bruchzahlen auch so auf:

\mathbb{Q}=\left\{\frac{m}{n}\right\}

m … ganze Zahl (da kann schon mal ein – dabei sein)
n … natürliche Zahl (immer positiv)

Wir lernen in einem späteren Kapitel, mit Bruchzahlen richtig zu rechnen.

Beobachtungen

Bruchzahlen sortieren

\frac{3}{4},\ \frac{-6}{3},\ \frac{8}{10}

\frac{3}{4}=0{,}75\quad\text{und}\quad\frac{-6}{3}=-2\quad\text{und}\quad\frac{8}{10}=0{,}8

–2 < 0,75 < 0,8

Daher:

\frac{-6}{3} < \frac{3}{4} < \frac{8}{10}

Bruchzahlen addieren

Wenn wir Bruchzahlen addieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=\frac{6}{4}

Bruchzahlen subtrahieren

Wenn wir Bruchzahlen subtrahieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}-\frac{5}{4}=\frac{-2}{4}

Bruchzahlen multiplizieren

Wenn wir Bruchzahlen multiplizieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{16}

Bruchzahlen dividieren

Wenn wir Bruchzahlen dividieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{5}{3}:\frac{2}{7}=\frac{5}{3}\cdot\frac{7}{2}=\frac{35}{6}

Wir lernen das im Detail noch später.

Alle natürlichen Zahlen und alle ganzen Zahlen sind gleichzeitig Bruchzahlen. Ihr Nenner ist 1.

Beispiele

3=\frac{3}{1}\\-4=\frac{-4}{1}

Zusammenfassung

Mit den Bruchzahlen kennen wir nun auch die Dezimalzahlen. Dezimalzahlen sind Bruchzahlen. Wir brauchen dazu nur die Brüche zu dividieren.

Wir kennen nun fast alle „Zahlen unseres Lebens“.

Alle natürlichen Zahlen sind auch ganze Zahlen, diese sind auch Bruchzahlen, und diese sind auch reelle Zahlen. Wir schreiben:

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}

$\mathbb{N}$ … Natürliche Zahlen (ohne Komma, + positiv)
Beispiele: 8, 20, 33, 100, 221

$\mathbb{Z}$ … Ganze Zahlen (ohne Komma, + positiv und – negativ)
Beispiele: –12, –5, 0, 7, 150

$\mathbb{I}$ … Irrationale Zahlen (nicht durch Bruch darstellbar, aber Dezimalzahlen)
Beispiele: $\sqrt{2}$ , $\sqrt{5}$ , $\pi$

$\mathbb{R}$ … Reelle Zahlen („Alle unsere Zahlen“)
Beispiele: –23,15, –3, 0, 4/3, $\sqrt{3}$ , 5

Aufgaben

Zu welchen Zahlenmengen gehören die folgenden Zahlen?

1
Lösung

1 ist eine natürliche Zahl, eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
0
Lösung

0 ist eine natürliche Zahl, eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
−3
Lösung

−3 ist eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\frac{8}{5}$

Lösung

$\frac{8}{5}$ ist eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$-\frac{3}{4}$

Lösung

$-\frac{3}{4}$ ist eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\sqrt{5}$

Lösung

$\sqrt{5}$ ist eine irrationale Zahl und eine reelle Zahl.
20,55
Lösung

20,55 ist eine Dezimalzahl und somit eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$-\frac{9}{3}$

Lösung

$-\frac{9}{3}$ ist eine ganze Zahl und eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\frac{20}{10}$

Lösung

$\frac{20}{10}$ ist eine natürliche Zahl und eine ganze Zahl und eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.

5. Größer, kleiner oder gleich?

Setzen Sie das Größer- oder Kleinerzeichen richtig ein. Die Öffnung ist immer bei der großen Seite.

Wörter 5

Addition und Subtraktion

Nachdenken und mit einem Bild vom Thermometer überlegen.

Beispiel: 10 – 13 = –3
Beispiel: –5 + 10 = +5
Beispiel: –5 – 10 = –15

Übung

Zeichnen Sie ein Bild von einem Thermometer zum 2. und 3. Beispiel.

Multiplikation und Division

Gleiche Vorzeichen ergeben +
Ungleiche Vorzeichen ergeben –

+ • + = +
– • – = +
+ • – = –
– • + = –

Beispiel: –5 • 10 = –50
Beispiel: –5 • (–10) = +50

+ / + = +
– / – = +
+ / – = –
– / + = –

Beispiel: –10 / 5 = –2
Beispiel: –10 / (–5) = +2

Hinweise

Statt +2 schreiben wir auch einfach 2.
Statt 5 • –2 schreiben wir lieber 5 • (–2).
+ kann ein Rechenzeichen für die Addition sein oder ein Vorzeichen.
5 + 3 = (Rechenzeichen für die Addition)
+3 = (Vorzeichen für die Zahl 3)
– kann ein Rechenzeichen für die Subtraktion sein oder ein Vorzeichen.
5 – 3 = (Rechenzeichen für die Subtraktion)
–3 = (Vorzeichen für die Zahl Minus Drei)

Übungen

Wörter 7

Der Kontostand beträgt –200 €. Es kommen 500 € dazu. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

+300 € oder einfach 300 €
Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

–400 €
Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?
Lösung

–8° Celsius
Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?
Lösung

+13° Celsius
Wieviel ist –50 • –2?
Lösung

+100 oder einfach 100
Wieviel ist 50 / (–2)?
Lösung

–25
Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?
Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?

Lösung

–8° Celsius

Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?

Lösung

+13° Celsius

Wieviel ist –50 • –2?

Lösung

+100 oder einfach 100

Wieviel ist 50 / (–2)?

Lösung

–25

Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?

Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?

Lösung

–400 €

Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?

Lösung

–8° Celsius

Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?

Lösung

+13° Celsius

Wieviel ist –50 • –2?

Lösung

+100 oder einfach 100

Wieviel ist 50 / (–2)?

Lösung

–25

Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?

Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Der Kontostand beträgt –200 €. Es kommen 500 € dazu. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

+300 € oder einfach 300 €
Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

–400 €
Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?
Lösung

–8° Celsius
Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?
Lösung

+13° Celsius
Wieviel ist –50 • –2?
Lösung

+100 oder einfach 100
Wieviel ist 50 / (–2)?
Lösung

–25
Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?
Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Der Kontostand beträgt –200 €. Es kommen 500 € dazu. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

+300 € oder einfach 300 €
Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

–400 €
Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?
Lösung

–8° Celsius
Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?
Lösung

+13° Celsius
Wieviel ist –50 • –2?
Lösung

+100 oder einfach 100
Wieviel ist 50 / (–2)?
Lösung

–25
Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?
Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Mit Zahlen beginnt die Reise in die Welt der Mathematik. Wer Zahlen unterscheiden kann, bestimmt, wohin die Reise geht.

Wörter 1

Mit natürlichen Zahlen können Sie das Alter von Menschen angeben.
Mit natürlichen Zahlen können Sie die Anzahl Ihrer Freunde angeben.
Mit natürlichen Zahlen können Sie alles Mögliche zählen.
Natürliche Zahlen haben kein Komma. Es gibt keine halben natürlichen Zahlen.

Beobachtungen

Wir können die natürlichen Zahlen der Größe nach sortieren: 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 < 7 < 8 < 9 < …
Wenn wir natürliche Zahlen addieren, dann erhalten wir wieder eine natürliche Zahl: 13 + 6 = 19
Wenn wir natürliche Zahlen multiplizieren, dann erhalten wir wieder eine natürliche Zahl: 2 • 9 = 18

Vermutung

Wenn wir natürliche Zahlen subtrahieren, erhalten wir wieder eine natürliche Zahl?
17 – 6 = 11 … die Vermutung ist richtig.

10 – 13 = ? … die Vermutung ist falsch. Es gibt keine natürlichen Zahlen unter 0.

Wir erinnern uns

Es gibt eine Temperatur unter 0. Es hat 10 Grad, und es wird um 13° kälter. Das Thermometer zeigt die Lösungen des Problems: Es hat –3°.

Die Null wird erst seit kurzem zu den natürlichen Zahlen gezählt. Möchten Sie wissen, wie die Null zu den natürlichen Zahlen gekommen ist? Diese Geschichte können Sie hier lesen.

3. Die Ganzen Zahlen

Es gibt Temperaturen unter Null: Diese Temperaturwerte haben ein – als Vorzeichen.

Beispiel:

10-3=-3

Wir sagen: –3 hat ein negatives Vorzeichen. –3 ist eine negative Zahl.

Wörter 3

Wir kombinieren eine ganze Zahl und eine natürliche Zahl mit einem Bruchstrich zu einer Bruchzahl.

Beispiele für Bruchzahlen:

\frac{3}{4},\ \frac{-6}{3},\ \frac{8}{10}

Die Zahl oben wird Zähler bezeichnet. Sie kann + positiv oder – negativ sein. Eine ganze Zahl.

Die Zahl unten wird Nenner bezeichnet. Sie gibt die Art des Bruches an und ist immer + positiv. Eine natürliche Zahl.

Ein Bruchstrich ist immer auch ein Divisionszeichen. Sie können jederzeit 3 : 4 berechnen und erhalten meist eine Dezimalzahl – eine Zahl mit Komma. Dezimalzahlen sind Bruchzahlen.

Wir schreiben die Menge aller Bruchzahlen auch so auf:

\mathbb{Q}=\left\{\frac{m}{n}\right\}

m … ganze Zahl (da kann schon mal ein – dabei sein)
n … natürliche Zahl (immer positiv)

Wir lernen in einem späteren Kapitel, mit Bruchzahlen richtig zu rechnen.

Beobachtungen

Bruchzahlen sortieren

\frac{3}{4},\ \frac{-6}{3},\ \frac{8}{10}

\frac{3}{4}=0{,}75\quad\text{und}\quad\frac{-6}{3}=-2\quad\text{und}\quad\frac{8}{10}=0{,}8

–2 < 0,75 < 0,8

Daher:

\frac{-6}{3} < \frac{3}{4} < \frac{8}{10}

Bruchzahlen addieren

Wenn wir Bruchzahlen addieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=\frac{6}{4}

Bruchzahlen subtrahieren

Wenn wir Bruchzahlen subtrahieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}-\frac{5}{4}=\frac{-2}{4}

Bruchzahlen multiplizieren

Wenn wir Bruchzahlen multiplizieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{16}

Bruchzahlen dividieren

Wenn wir Bruchzahlen dividieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{5}{3}:\frac{2}{7}=\frac{5}{3}\cdot\frac{7}{2}=\frac{35}{6}

Wir lernen das im Detail noch später.

Alle natürlichen Zahlen und alle ganzen Zahlen sind gleichzeitig Bruchzahlen. Ihr Nenner ist 1.

Beispiele

3=\frac{3}{1}\\-4=\frac{-4}{1}

Zusammenfassung

Mit den Bruchzahlen kennen wir nun auch die Dezimalzahlen. Dezimalzahlen sind Bruchzahlen. Wir brauchen dazu nur die Brüche zu dividieren.

Wir kennen nun fast alle „Zahlen unseres Lebens“.

Alle natürlichen Zahlen sind auch ganze Zahlen, diese sind auch Bruchzahlen, und diese sind auch reelle Zahlen. Wir schreiben:

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}

$\mathbb{N}$ … Natürliche Zahlen (ohne Komma, + positiv)
Beispiele: 8, 20, 33, 100, 221

$\mathbb{Z}$ … Ganze Zahlen (ohne Komma, + positiv und – negativ)
Beispiele: –12, –5, 0, 7, 150

$\mathbb{I}$ … Irrationale Zahlen (nicht durch Bruch darstellbar, aber Dezimalzahlen)
Beispiele: $\sqrt{2}$ , $\sqrt{5}$ , $\pi$

$\mathbb{R}$ … Reelle Zahlen („Alle unsere Zahlen“)
Beispiele: –23,15, –3, 0, 4/3, $\sqrt{3}$ , 5

Aufgaben

Zu welchen Zahlenmengen gehören die folgenden Zahlen?

1
Lösung

1 ist eine natürliche Zahl, eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
0
Lösung

0 ist eine natürliche Zahl, eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
−3
Lösung

−3 ist eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\frac{8}{5}$

Lösung

$\frac{8}{5}$ ist eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$-\frac{3}{4}$

Lösung

$-\frac{3}{4}$ ist eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\sqrt{5}$

Lösung

$\sqrt{5}$ ist eine irrationale Zahl und eine reelle Zahl.
20,55
Lösung

20,55 ist eine Dezimalzahl und somit eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$-\frac{9}{3}$

Lösung

$-\frac{9}{3}$ ist eine ganze Zahl und eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\frac{20}{10}$

Lösung

$\frac{20}{10}$ ist eine natürliche Zahl und eine ganze Zahl und eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.

5. Größer, kleiner oder gleich?

Setzen Sie das Größer- oder Kleinerzeichen richtig ein. Die Öffnung ist immer bei der großen Seite.

Wörter 5

Addition und Subtraktion

Nachdenken und mit einem Bild vom Thermometer überlegen.

Beispiel: 10 – 13 = –3
Beispiel: –5 + 10 = +5
Beispiel: –5 – 10 = –15

Übung

Zeichnen Sie ein Bild von einem Thermometer zum 2. und 3. Beispiel.

Multiplikation und Division

Gleiche Vorzeichen ergeben +
Ungleiche Vorzeichen ergeben –

+ • + = +
– • – = +
+ • – = –
– • + = –

Beispiel: –5 • 10 = –50
Beispiel: –5 • (–10) = +50

+ / + = +
– / – = +
+ / – = –
– / + = –

Beispiel: –10 / 5 = –2
Beispiel: –10 / (–5) = +2

Hinweise

Statt +2 schreiben wir auch einfach 2.
Statt 5 • –2 schreiben wir lieber 5 • (–2).
+ kann ein Rechenzeichen für die Addition sein oder ein Vorzeichen.
5 + 3 = (Rechenzeichen für die Addition)
+3 = (Vorzeichen für die Zahl 3)
– kann ein Rechenzeichen für die Subtraktion sein oder ein Vorzeichen.
5 – 3 = (Rechenzeichen für die Subtraktion)
–3 = (Vorzeichen für die Zahl Minus Drei)

Übungen

Wörter 7

Der Kontostand beträgt –200 €. Es kommen 500 € dazu. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

+300 € oder einfach 300 €
Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

–400 €
Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?
Lösung

–8° Celsius
Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?
Lösung

+13° Celsius
Wieviel ist –50 • –2?
Lösung

+100 oder einfach 100
Wieviel ist 50 / (–2)?
Lösung

–25
Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?
Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?

Lösung

+13° Celsius

Wieviel ist –50 • –2?

Lösung

+100 oder einfach 100

Wieviel ist 50 / (–2)?

Lösung

–25

Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?

Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?

Lösung

–8° Celsius

Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?

Lösung

+13° Celsius

Wieviel ist –50 • –2?

Lösung

+100 oder einfach 100

Wieviel ist 50 / (–2)?

Lösung

–25

Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?

Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?

Lösung

–400 €

Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?

Lösung

–8° Celsius

Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?

Lösung

+13° Celsius

Wieviel ist –50 • –2?

Lösung

+100 oder einfach 100

Wieviel ist 50 / (–2)?

Lösung

–25

Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?

Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Der Kontostand beträgt –200 €. Es kommen 500 € dazu. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

+300 € oder einfach 300 €
Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

–400 €
Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?
Lösung

–8° Celsius
Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?
Lösung

+13° Celsius
Wieviel ist –50 • –2?
Lösung

+100 oder einfach 100
Wieviel ist 50 / (–2)?
Lösung

–25
Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?
Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Der Kontostand beträgt –200 €. Es kommen 500 € dazu. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

+300 € oder einfach 300 €
Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

–400 €
Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?
Lösung

–8° Celsius
Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?
Lösung

+13° Celsius
Wieviel ist –50 • –2?
Lösung

+100 oder einfach 100
Wieviel ist 50 / (–2)?
Lösung

–25
Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?
Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.

Mit Zahlen beginnt die Reise in die Welt der Mathematik. Wer Zahlen unterscheiden kann, bestimmt, wohin die Reise geht.

Wörter 1

Mit natürlichen Zahlen können Sie das Alter von Menschen angeben.
Mit natürlichen Zahlen können Sie die Anzahl Ihrer Freunde angeben.
Mit natürlichen Zahlen können Sie alles Mögliche zählen.
Natürliche Zahlen haben kein Komma. Es gibt keine halben natürlichen Zahlen.

Beobachtungen

Wir können die natürlichen Zahlen der Größe nach sortieren: 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 < 7 < 8 < 9 < …
Wenn wir natürliche Zahlen addieren, dann erhalten wir wieder eine natürliche Zahl: 13 + 6 = 19
Wenn wir natürliche Zahlen multiplizieren, dann erhalten wir wieder eine natürliche Zahl: 2 • 9 = 18

Vermutung

Wenn wir natürliche Zahlen subtrahieren, erhalten wir wieder eine natürliche Zahl?
17 – 6 = 11 … die Vermutung ist richtig.

10 – 13 = ? … die Vermutung ist falsch. Es gibt keine natürlichen Zahlen unter 0.

Wir erinnern uns

Es gibt eine Temperatur unter 0. Es hat 10 Grad, und es wird um 13° kälter. Das Thermometer zeigt die Lösungen des Problems: Es hat –3°.

Die Null wird erst seit kurzem zu den natürlichen Zahlen gezählt. Möchten Sie wissen, wie die Null zu den natürlichen Zahlen gekommen ist? Diese Geschichte können Sie hier lesen.

3. Die Ganzen Zahlen

Es gibt Temperaturen unter Null: Diese Temperaturwerte haben ein – als Vorzeichen.

Beispiel:

10-3=-3

Wir sagen: –3 hat ein negatives Vorzeichen. –3 ist eine negative Zahl.

Wörter 3

Wir kombinieren eine ganze Zahl und eine natürliche Zahl mit einem Bruchstrich zu einer Bruchzahl.

Beispiele für Bruchzahlen:

\frac{3}{4},\ \frac{-6}{3},\ \frac{8}{10}

Die Zahl oben wird Zähler bezeichnet. Sie kann + positiv oder – negativ sein. Eine ganze Zahl.

Die Zahl unten wird Nenner bezeichnet. Sie gibt die Art des Bruches an und ist immer + positiv. Eine natürliche Zahl.

Ein Bruchstrich ist immer auch ein Divisionszeichen. Sie können jederzeit 3 : 4 berechnen und erhalten meist eine Dezimalzahl – eine Zahl mit Komma. Dezimalzahlen sind Bruchzahlen.

Wir schreiben die Menge aller Bruchzahlen auch so auf:

\mathbb{Q}=\left\{\frac{m}{n}\right\}

m … ganze Zahl (da kann schon mal ein – dabei sein)
n … natürliche Zahl (immer positiv)

Wir lernen in einem späteren Kapitel, mit Bruchzahlen richtig zu rechnen.

Beobachtungen

Bruchzahlen sortieren

\frac{3}{4},\ \frac{-6}{3},\ \frac{8}{10}

\frac{3}{4}=0{,}75\quad\text{und}\quad\frac{-6}{3}=-2\quad\text{und}\quad\frac{8}{10}=0{,}8

–2 < 0,75 < 0,8

Daher:

\frac{-6}{3} < \frac{3}{4} < \frac{8}{10}

Bruchzahlen addieren

Wenn wir Bruchzahlen addieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=\frac{6}{4}

Bruchzahlen subtrahieren

Wenn wir Bruchzahlen subtrahieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}-\frac{5}{4}=\frac{-2}{4}

Bruchzahlen multiplizieren

Wenn wir Bruchzahlen multiplizieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{16}

Bruchzahlen dividieren

Wenn wir Bruchzahlen dividieren, dann erhalten wir wieder eine Bruchzahl:

\frac{5}{3}:\frac{2}{7}=\frac{5}{3}\cdot\frac{7}{2}=\frac{35}{6}

Wir lernen das im Detail noch später.

Alle natürlichen Zahlen und alle ganzen Zahlen sind gleichzeitig Bruchzahlen. Ihr Nenner ist 1.

Beispiele

3=\frac{3}{1}\\-4=\frac{-4}{1}

Zusammenfassung

Mit den Bruchzahlen kennen wir nun auch die Dezimalzahlen. Dezimalzahlen sind Bruchzahlen. Wir brauchen dazu nur die Brüche zu dividieren.

Wir kennen nun fast alle „Zahlen unseres Lebens“.

Alle natürlichen Zahlen sind auch ganze Zahlen, diese sind auch Bruchzahlen, und diese sind auch reelle Zahlen. Wir schreiben:

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}

$\mathbb{N}$ … Natürliche Zahlen (ohne Komma, + positiv)
Beispiele: 8, 20, 33, 100, 221

$\mathbb{Z}$ … Ganze Zahlen (ohne Komma, + positiv und – negativ)
Beispiele: –12, –5, 0, 7, 150

$\mathbb{I}$ … Irrationale Zahlen (nicht durch Bruch darstellbar, aber Dezimalzahlen)
Beispiele: $\sqrt{2}$ , $\sqrt{5}$ , $\pi$

$\mathbb{R}$ … Reelle Zahlen („Alle unsere Zahlen“)
Beispiele: –23,15, –3, 0, 4/3, $\sqrt{3}$ , 5

Aufgaben

Zu welchen Zahlenmengen gehören die folgenden Zahlen?

1
Lösung

1 ist eine natürliche Zahl, eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
0
Lösung

0 ist eine natürliche Zahl, eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
−3
Lösung

−3 ist eine ganze Zahl, eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\frac{8}{5}$

Lösung

$\frac{8}{5}$ ist eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$-\frac{3}{4}$

Lösung

$-\frac{3}{4}$ ist eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\sqrt{5}$

Lösung

$\sqrt{5}$ ist eine irrationale Zahl und eine reelle Zahl.
20,55
Lösung

20,55 ist eine Dezimalzahl und somit eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$-\frac{9}{3}$

Lösung

$-\frac{9}{3}$ ist eine ganze Zahl und eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.
$\frac{20}{10}$

Lösung

$\frac{20}{10}$ ist eine natürliche Zahl und eine ganze Zahl und eine Bruchzahl und eine reelle Zahl.

5. Größer, kleiner oder gleich?

Setzen Sie das Größer- oder Kleinerzeichen richtig ein. Die Öffnung ist immer bei der großen Seite.

Wörter 5

Addition und Subtraktion

Nachdenken und mit einem Bild vom Thermometer überlegen.

Beispiel: 10 – 13 = –3
Beispiel: –5 + 10 = +5
Beispiel: –5 – 10 = –15

Übung

Zeichnen Sie ein Bild von einem Thermometer zum 2. und 3. Beispiel.

Multiplikation und Division

Gleiche Vorzeichen ergeben +
Ungleiche Vorzeichen ergeben –

+ • + = +
– • – = +
+ • – = –
– • + = –

Beispiel: –5 • 10 = –50
Beispiel: –5 • (–10) = +50

+ / + = +
– / – = +
+ / – = –
– / + = –

Beispiel: –10 / 5 = –2
Beispiel: –10 / (–5) = +2

Hinweise

Statt +2 schreiben wir auch einfach 2.
Statt 5 • –2 schreiben wir lieber 5 • (–2).
+ kann ein Rechenzeichen für die Addition sein oder ein Vorzeichen.
5 + 3 = (Rechenzeichen für die Addition)
+3 = (Vorzeichen für die Zahl 3)
– kann ein Rechenzeichen für die Subtraktion sein oder ein Vorzeichen.
5 – 3 = (Rechenzeichen für die Subtraktion)
–3 = (Vorzeichen für die Zahl Minus Drei)

Übungen

Wörter 7

Der Kontostand beträgt –200 €. Es kommen 500 € dazu. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

+300 € oder einfach 300 €
Der Kontostand beträgt –100 €. Es kommen 300 € weg. Wie hoch ist der Kontostand?
Lösung

–400 €
Die Temperatur beträgt 4° Celsius. Es wird in der Nacht um 12° Celsius kälter. Wie kalt ist es in der Nacht?
Lösung

–8° Celsius
Die Temperatur beträgt am Morgen –2° Celsius. Es wird um 15° Celsius wärmer. Welche Temperatur hat es nun?
Lösung

+13° Celsius
Wieviel ist –50 • –2?
Lösung

+100 oder einfach 100
Wieviel ist 50 / (–2)?
Lösung

–25
Jemand hat 100 € auf seinem Konto. Er behebt 10 Stück 20 €-Scheine. Wie groß ist nun der Kontostand?
Lösung

–100 €

7. Buchtipp

Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.

Das war’s für dieses Mal. Das war heute ein wenig länger. Die kommenden Kapitel sind dann wieder etwas kürzer. Schön, dass Sie mit dabei sind.